题目
求下列全排列的逆序数。 （1）634521（2）53142（3）54321（4）... (2n-1)246... (2n)
求下列全排列的逆序数。
（1）634521
（2）53142
（3）54321
（4）
题目解答
答案
首先先找到每组全排列的逆序，然后求出他们的总和即为逆序数，过程如下：
（1）逆序要求是前一个数大于后一个数，故第一组全排列的的逆序为63,64,65,62,61,32,31,42,41,52,51,
21，总计12个，故该组全排列的逆序数为12；
（2）逆序要求是前一个数大于后一个数，故第二组全排列的的逆序为53,51,54,52,31,32,42，总计7个，故该组全排列的逆序数为7；
（3）逆序要求是前一个数大于后一个数，故第三组全排列的的逆序为54,53,52,51,43,42,41,32,31,21，总计1,0个，故该组全排列的逆序数为10；
（4）逆序要求是前一个数大于后一个数，故第四组全排列的的逆序数，我们可以先考虑
，因为该数列为一个有序数列，故该序列的逆序数为0，接下来考虑
，因为他为一个倒序，每个数都比后面的数大，故逆序数为
，故该组全排列的逆序数为：。
，因为该数列为一个有序数列，故该序列的逆序数为0，接下来考虑，因为他为一个倒序，每个数都比后面的数大，故逆序数为，故该组全排列的逆序数为：。故本题答案为：
（1）12
（2）7
（3）10
（4）
解析
步骤 1：计算全排列（1）634521的逆序数
逆序数是指在排列中，一个数比它后面的数大的次数。对于排列634521，我们可以逐个数计算逆序数。
- 6比它后面的3、4、5、2、1都大，逆序数为5。
- 3比它后面的2、1大，逆序数为2。
- 4比它后面的2、1大，逆序数为2。
- 5比它后面的2、1大，逆序数为2。
- 2比它后面的1大，逆序数为1。
- 1没有比它后面的数大，逆序数为0。
因此，排列634521的逆序数为5+2+2+2+1+0=12。
步骤 2：计算全排列（2）53142的逆序数
- 5比它后面的3、1、4、2大，逆序数为4。
- 3比它后面的1、2大，逆序数为2。
- 1没有比它后面的数大，逆序数为0。
- 4比它后面的2大，逆序数为1。
- 2没有比它后面的数大，逆序数为0。
因此，排列53142的逆序数为4+2+0+1+0=7。
步骤 3：计算全排列（3）54321的逆序数
- 5比它后面的4、3、2、1大，逆序数为4。
- 4比它后面的3、2、1大，逆序数为3。
- 3比它后面的2、1大，逆序数为2。
- 2比它后面的1大，逆序数为1。
- 1没有比它后面的数大，逆序数为0。
因此，排列54321的逆序数为4+3+2+1+0=10。
步骤 4：计算全排列（4）$135\cdots (2n-1)246\cdots (2n)$的逆序数
- 对于$135\cdots (2n-1)$，每个数都比它后面的数大，逆序数为$\dfrac {n(n-1)}{2}$。
- 对于$246\cdots (2n)$，因为该数列为一个有序数列，故该序列的逆序数为0。
因此，排列$135\cdots (2n-1)246\cdots (2n)$的逆序数为$\dfrac {n(n-1)}{2}$。
逆序数是指在排列中，一个数比它后面的数大的次数。对于排列634521，我们可以逐个数计算逆序数。
- 6比它后面的3、4、5、2、1都大，逆序数为5。
- 3比它后面的2、1大，逆序数为2。
- 4比它后面的2、1大，逆序数为2。
- 5比它后面的2、1大，逆序数为2。
- 2比它后面的1大，逆序数为1。
- 1没有比它后面的数大，逆序数为0。
因此，排列634521的逆序数为5+2+2+2+1+0=12。
步骤 2：计算全排列（2）53142的逆序数
- 5比它后面的3、1、4、2大，逆序数为4。
- 3比它后面的1、2大，逆序数为2。
- 1没有比它后面的数大，逆序数为0。
- 4比它后面的2大，逆序数为1。
- 2没有比它后面的数大，逆序数为0。
因此，排列53142的逆序数为4+2+0+1+0=7。
步骤 3：计算全排列（3）54321的逆序数
- 5比它后面的4、3、2、1大，逆序数为4。
- 4比它后面的3、2、1大，逆序数为3。
- 3比它后面的2、1大，逆序数为2。
- 2比它后面的1大，逆序数为1。
- 1没有比它后面的数大，逆序数为0。
因此，排列54321的逆序数为4+3+2+1+0=10。
步骤 4：计算全排列（4）$135\cdots (2n-1)246\cdots (2n)$的逆序数
- 对于$135\cdots (2n-1)$，每个数都比它后面的数大，逆序数为$\dfrac {n(n-1)}{2}$。
- 对于$246\cdots (2n)$，因为该数列为一个有序数列，故该序列的逆序数为0。
因此，排列$135\cdots (2n-1)246\cdots (2n)$的逆序数为$\dfrac {n(n-1)}{2}$。