设一门高射炮击中飞机的概率0.6,不同高射炮是否击中相互独立.若有一架敌机入侵领空,欲以99%以上的概率击中它,则至少需要()门高射炮.A. 5B. 4C. 6D. 7

考查要点：本题主要考查独立事件的概率计算及对数不等式的应用。关键在于理解“至少有一门击中”的概率转化为对立事件“全部未击中”的概率，并通过不等式求解最小高射炮数量。

解题核心思路：

1. 对立事件法：计算所有高射炮均未击中的概率，再用1减去该概率得到至少一次击中的概率。
2. 不等式建立与求解：通过概率要求建立不等式，利用对数求解最小整数解。

破题关键点：

• 正确建立概率模型：明确“至少一次成功”对应对立事件“全部失败”。
• 对数运算的正确应用：注意对数函数的单调性对不等式方向的影响。

设需要$n$门高射炮，每门击中概率为$0.6$，未击中概率为$0.4$。
至少一次击中的概率为：
$P = 1 - (0.4)^n$
题目要求$P \geq 0.99$，即：
$1 - (0.4)^n \geq 0.99 \quad \Rightarrow \quad (0.4)^n \leq 0.01$

取自然对数：
$n \cdot \ln(0.4) \leq \ln(0.01)$
由于$\ln(0.4) < 0$，不等式方向改变：
$n \geq \frac{\ln(0.01)}{\ln(0.4)} \approx \frac{-4.605}{-0.916} \approx 5.025$
因此，最小整数解为$n=6$。

验证：

• 当$n=5$时，$(0.4)^5 = 0.01024$，对应概率$1 - 0.01024 = 0.98976 < 0.99$，不满足。
• 当$n=6$时，$(0.4)^6 = 0.004096$，对应概率$1 - 0.004096 = 0.995904 > 0.99$，满足要求。