以下两题中给出了四个结论,从中选出一个正确的结论:-|||-设-|||-f(x)= {x)^3,xleqslant 1 (x)^2,xgt 1 .-|||-则f(x)在 x=1 处的 ()-|||-(A)左、右导数都存在 (B)左导数存在,右导数不存在-|||-(C)左导数不存在,右导数存在 (D)左、右导数都不存在

考查要点：本题主要考查分段函数在分段点处的左右导数是否存在，需要分别计算左导数和右导数的极限是否存在。

解题核心思路：

1. 左导数：当$x$从左侧趋近于1时，函数$f(x)$采用左段表达式$\dfrac{2}{3}x^3$，通过导数定义计算左导数。
2. 右导数：当$x$从右侧趋近于1时，函数$f(x)$采用右段表达式$x^2$，通过导数定义计算右导数。
3. 关键点：若左右导数的极限存在，则对应导数存在；若极限不存在（如趋向无穷），则对应导数不存在。

左导数计算

当$x \to 1^-$时，$f(x) = \dfrac{2}{3}x^3$，计算左导数：
$f'_-(1) = \lim_{x \to 1^-} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{\dfrac{2}{3}x^3 - \dfrac{2}{3}}{x - 1}$
化简分子：
$\dfrac{2}{3}(x^3 - 1) = \dfrac{2}{3}(x - 1)(x^2 + x + 1)$
消去分母：
$\lim_{x \to 1} \dfrac{2}{3}(x^2 + x + 1) = \dfrac{2}{3}(1 + 1 + 1) = 2$
结论：左导数存在，且$f'_-(1) = 2$。

右导数计算

当$x \to 1^+$时，$f(x) = x^2$，计算右导数：
$f'_+(1) = \lim_{x \to 1^+} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - \dfrac{2}{3}}{x - 1}$
分析极限：

• 分子$x^2 - \dfrac{2}{3}$当$x \to 1$时趋近于$1 - \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3}$。
• 分母$x - 1$当$x \to 1^+$时趋近于$0^+$。
• 因此，$\dfrac{\dfrac{1}{3}}{0^+} \to +\infty$，极限不存在。

结论：右导数不存在。