题目
对于向量组alpha_1,alpha_2,ldots,alpha_m,若0alpha_1+0alpha_2+ldots+0alpha_m=0,则该向量组()。A. 不一定线性无关;B. 线性无关;C. 是一组非零向量;D. 线性相关;
对于向量组$\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_m$,若$0\alpha_1+0\alpha_2+\ldots+0\alpha_m=0$,则该向量组()。
A. 不一定线性无关;
B. 线性无关;
C. 是一组非零向量;
D. 线性相关;
题目解答
答案
A. 不一定线性无关;
解析
本题考查向量组线性相关性的知识。解题思路是根据向量组线性相关和线性无关的定义来判断给定向量组的情况。
向量组线性相关的定义是:存在不全为零的数$k_1,k_2,\cdots,k_m$,使得$k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + \cdots + k_m\alpha_m = 0$。。
向量组线性无关的定义是:只有当$k_1 = k_2 = \cdots = k_m = 0$时,才有$k_1\alpha_1 + k k_2\alpha_2 + \cdots + k_m\alpha_m = 0$。
在本题中,已知$0\alpha_1 + 0\alpha_2 + \cdots + 0\alpha_m = 0$,这里的系数都是$0$,但仅根据这一个条件不能确定该向量组一定线性无关。因为有可能存在不全为零的数使得向量组的线性组合为零,也有可能只有当所有系数都为零时向量组的线性组合才为零。所以该向量组不一定线性无关。