题目
3.设随机变量 sim U(0,5), 求 Y=3X+2 的概率密度.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定X的概率密度函数
由于 $X\sim U(0,5)$，即X服从区间(0,5)上的均匀分布，因此X的概率密度函数为：
$$
f_X(x) = \left\{
\begin{array}{ll}
\dfrac{1}{5}, & 0 < x < 5 \\
0, & \text{其他}
\end{array}
\right.
$$
步骤 2：确定Y的取值范围
由于 $Y = 3X + 2$，当 $X$ 在区间(0,5)上变化时，$Y$ 的取值范围为：
$$
2 < Y < 17
$$
步骤 3：求Y的概率密度函数
根据概率密度函数的变换公式，设 $Y = g(X)$，则 $X = g^{-1}(Y)$，且 $g^{-1}(Y) = \dfrac{1}{3}Y - \dfrac{2}{3}$，因此：
$$
f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y)) \left| \dfrac{d}{dy} g^{-1}(y) \right|
$$
代入 $g^{-1}(y) = \dfrac{1}{3}y - \dfrac{2}{3}$，得：
$$
f_Y(y) = \dfrac{1}{5} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{15}, \quad 2 < y < 17
$$
其他情况下，$f_Y(y) = 0$。
由于 $X\sim U(0,5)$，即X服从区间(0,5)上的均匀分布，因此X的概率密度函数为：
$$
f_X(x) = \left\{
\begin{array}{ll}
\dfrac{1}{5}, & 0 < x < 5 \\
0, & \text{其他}
\end{array}
\right.
$$
步骤 2：确定Y的取值范围
由于 $Y = 3X + 2$，当 $X$ 在区间(0,5)上变化时，$Y$ 的取值范围为：
$$
2 < Y < 17
$$
步骤 3：求Y的概率密度函数
根据概率密度函数的变换公式，设 $Y = g(X)$，则 $X = g^{-1}(Y)$，且 $g^{-1}(Y) = \dfrac{1}{3}Y - \dfrac{2}{3}$，因此：
$$
f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y)) \left| \dfrac{d}{dy} g^{-1}(y) \right|
$$
代入 $g^{-1}(y) = \dfrac{1}{3}y - \dfrac{2}{3}$，得：
$$
f_Y(y) = \dfrac{1}{5} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{15}, \quad 2 < y < 17
$$
其他情况下，$f_Y(y) = 0$。