[题目]设 |overrightarrow (a)|=4 |overrightarrow (b)|=3 , langle overrightarrow (a),overrightarrow (b)rangle =dfrac (pi )(6), 求以-|||-overrightarrow (a)+2overrightarrow (b) 和 overrightarrow (a)-3overrightarrow (b) 为边的平行四边形的面积.

步骤 1：计算向量叉乘
向量叉乘的性质是 $\overrightarrow {a} \times \overrightarrow {a} = 0$ 和 $\overrightarrow {b} \times \overrightarrow {b} = 0$，同时 $\overrightarrow {a} \times \overrightarrow {b} = -\overrightarrow {b} \times \overrightarrow {a}$。因此，我们有：
$(\overrightarrow {a}+2\overrightarrow {b})\times (\overrightarrow {a}-3\overrightarrow {b})$ $=\overrightarrow {a}\times \overrightarrow {a}-3\overrightarrow {a}\times \overrightarrow {b}+2\overrightarrow {b}\times \overrightarrow {a}-6\overrightarrow {b}\times \overrightarrow {b}$ $=0+5\overrightarrow {b}\times \overrightarrow {a}-0$ $=5\overrightarrow {b}\times \overrightarrow {a}$

步骤 2：计算叉乘的模
叉乘的模等于两个向量的模的乘积与它们夹角的正弦值的乘积，即 $|\overrightarrow {b}\times \overrightarrow {a}| = |\overrightarrow {b}||\overrightarrow {a}|\sin(\langle \overrightarrow {a},\overrightarrow {b}\rangle)$。因此，我们有：
$|\overrightarrow {b}\times \overrightarrow {a}| = 3 \times 4 \times \sin(\dfrac {\pi }{6}) = 12 \times \dfrac {1}{2} = 6$

步骤 3：计算平行四边形的面积
平行四边形的面积等于两个向量叉乘的模，即 $S = |(\overrightarrow {a}+2\overrightarrow {b})\times (\overrightarrow {a}-3\overrightarrow {b})|$。因此，我们有：
$S = 5 \times |\overrightarrow {b}\times \overrightarrow {a}| = 5 \times 6 = 30$