求微分方程sqrt (x)y'=(y)^2+1的通解。

考查要点：本题主要考查可分离变量微分方程的解法，需要将方程中的变量分离后分别积分。

解题核心思路：

1. 变量分离：将方程整理为关于$y$的函数和关于$x$的函数分别位于等式两边。
2. 积分求解：对两边分别积分，注意积分常数的处理。
3. 解显式表达：将积分结果整理为关于$y$的显式表达式。

破题关键点：

• 识别方程类型为可分离变量方程。
• 正确分离变量并积分，特别是左边$\int \frac{1}{y^2+1} dy$对应反正切函数，右边$\int \frac{1}{2\sqrt{x}} dx$需用幂函数积分公式。

步骤1：变量分离
原方程：
$2\sqrt{x} y' = y^2 + 1$
将$y'$表示为$\frac{dy}{dx}$，并整理得：
$\frac{1}{y^2 + 1} dy = \frac{1}{2\sqrt{x}} dx$

步骤2：两边积分
对左边积分：
$\int \frac{1}{y^2 + 1} dy = \arctan y + C_1$
对右边积分：
$\int \frac{1}{2\sqrt{x}} dx = \int \frac{1}{2} x^{-1/2} dx = \frac{1}{2} \cdot 2x^{1/2} + C_2 = \sqrt{x} + C_2$

步骤3：合并常数并整理
联立积分结果，合并常数项：
$\arctan y = \sqrt{x} + C$
其中$C = C_2 - C_1$为任意常数。

步骤4：解显式表达
取正切函数得通解：
$y = \tan(\sqrt{x} + C)$