【题目】设A,B为n阶矩阵,记r(X)为矩阵X的秩,(XY)表示分块矩阵,则(A)r(A AB)=r(A).(B)r(A BA)=r(A).(C)r(A B)=max(r(A),r(B)).(D) r(AB)=r(A^TB^T)

考查要点：本题主要考查矩阵秩的性质，特别是分块矩阵及乘积矩阵的秩与原矩阵秩的关系。需要掌握分块矩阵的秩的判断方法以及矩阵乘积的秩的性质。

解题核心思路：

1. 选项(A)：利用分块矩阵的列空间关系，若AB的列可由A的列线性表出，则拼接后的矩阵秩不变。
2. 选项(B)、(C)、(D)：通过构造具体反例验证其不成立，需注意矩阵的特殊构造（如稀疏矩阵）对秩的影响。

破题关键点：

• 分块矩阵的秩：横向拼接时，若新增列可由原列线性表出，则秩不变；纵向拼接时，秩可能增加。
• 矩阵乘积的秩：乘积的秩不超过任一因子的秩，但转置后的秩与原矩阵乘积的秩不一定相等。

选项(A)分析

关键结论：若矩阵$AB$的列可由$A$的列线性表出，则$r(A \mid AB) = r(A)$。

1. 子矩阵包含性：$A$是分块矩阵$(A \mid AB)$的子矩阵，因此$r(A \mid AB) \geq r(A)$。
2. 乘积形式分解：$(A \mid AB) = A(E \mid B)$，根据秩的性质，$r(A(E \mid B)) \leq r(A)$。
3. 综合结论：结合上述两点，$r(A \mid AB) = r(A)$。

选项(B)反例

取$A = \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}$，$B = \begin{pmatrix}0 & 1\end{pmatrix}$：

• $BA = \begin{pmatrix}0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 1\end{pmatrix}$，$r(BA) = 1$。
• 分块矩阵$(A \mid BA)$为$\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$，$r(A \mid BA) = 2 \neq r(A)$，故选项(B)错误。

选项(C)反例

取$A = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$，$B = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$：

• $r(A) = 1$，$r(B) = 1$，但$r(A \mid B) = 2 \neq \max\{1, 1\}$，故选项(C)错误。

选项(D)反例

取$A = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$，$B = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$：

• $AB = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$，$r(AB) = 1$。
• $A^T B^T = \begin{pmatrix}0 & 0 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$，$r(A^T B^T) = 1$，但若取其他矩阵可能使$r(AB) \neq r(A^T B^T)$，例如：
  • $A = \begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix}$，$B = \begin{pmatrix}0 & 1\end{pmatrix}$，则$AB = 0$，$A^T B^T = \begin{pmatrix}0 & 1\end{pmatrix}$，此时$r(AB) = 0 \neq r(A^T B^T) = 1$，故选项(D)错误。