题目

20.(9分)习近平总书记指出"没有全民健康,就没有全面小康",全民健身被越来越多的人接纳,人们-|||-的健身方式更加多元,健身场地更加丰富,沿河跑步也成为一种时尚.九年级学生小明在河边跑步-|||-时,决定用数学知识计算河的宽度,如图是一条河的示意图,小明沿河岸GH跑步,对岸EF上有两-|||-棵大树A,B.当小明跑到C处时,测得大树A在北偏东53°方向,小明继续跑步5分钟到达D处,此-|||-时大树B刚好在北偏西45°方向.已知 ykparallel GH AB=50m ,小明跑步的平均速度是每分钟100m,-|||-请根据以上数据求出该段河的宽度.(结果精确到0.1m.参考数据: sin (37)^circ approx dfrac (3)(5) cos (37)^circ approx dfrac (4)(5) ,tan37°-|||-=dfrac (3)(4) ,sqrt (2)approx 1.41 )-|||-北-|||-东-|||-E A B -F-|||-G →(C) D H

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查方位角的应用、平行线性质以及解直角三角形的综合运用能力。需要学生根据题意构建几何模型，利用三角函数建立方程求解。

解题核心思路：

  1. 确定方位角对应的角度：将北偏东53°和北偏西45°转化为直角三角形中的实际角度（分别为37°和45°）。
  2. 构建平行线模型：利用两岸平行，将AB的水平距离转化为线段MN的长度。
  3. 列方程求解：通过总路程CD=500m，结合两个直角三角形中的边角关系，建立方程求解河宽。

破题关键点：

  • 正确转换方位角：北偏东53°对应直角三角形中的角度为37°，北偏西45°对应45°。
  • 利用平行线性质：AB的水平投影MN=50m。
  • 分段表示总路程：CD=CM+MN+ND，结合三角函数表达各段长度。

构建几何模型

  1. 作辅助线：过A、B分别作CD的垂线AM、BN，垂足为M、N，河宽即为AM=BN=x。
  2. 确定角度：
    • 在C点，北偏东53°对应∠ACM=90°−53°=37°。
    • 在D点，北偏西45°对应∠BDN=90°−45°=45°。
  3. 水平距离关系：MN=AB=50m，CD=500m（小明跑步距离）。

分析直角三角形

  1. 在Rt△ACM中：
    • $\tan 37^\circ = \dfrac{AM}{CM} \implies CM = \dfrac{x}{\tan 37^\circ} = \dfrac{x}{\dfrac{3}{4}} = \dfrac{4}{3}x$。
  2. 在Rt△BND中：
    • $\tan 45^\circ = \dfrac{BN}{DN} \implies DN = \dfrac{x}{\tan 45^\circ} = x$。

建立方程

总路程CD=CM+MN+ND：
$\dfrac{4}{3}x + 50 + x = 500$
解得：
$x = \dfrac{(500-50) \times 3}{7} \approx 192.9 \, \text{m}$