已知曲线=a(x)^3+b(x)^2+cx-1在=a(x)^3+b(x)^2+cx-1处有水平切线,且在点=a(x)^3+b(x)^2+cx-1处取得拐点,求=a(x)^3+b(x)^2+cx-1的值.

考查要点：本题主要考查三次曲线的导数应用，包括利用导数求切线斜率、拐点的判定条件，以及通过方程组求解参数的能力。

解题核心思路：

1. 水平切线条件：曲线在某点处的导数为0，即一阶导数在该点等于0。
2. 拐点条件：拐点处二阶导数为0，且该点在曲线上。
3. 联立方程：通过上述条件建立方程组，解出参数$a$、$b$、$c$的值。

破题关键点：

• 正确理解条件：明确“水平切线”对应一阶导数为0，“拐点”对应二阶导数为0且点在曲线上。
• 代数运算：注意方程组的建立与求解过程中的符号和系数处理。

步骤1：求一阶导数并代入水平切线条件

曲线方程为$y = a x^3 + b x^2 + c x - 1$，其一阶导数为：
$y' = 3a x^2 + 2b x + c$
在$x = -2$处有水平切线，故$y'(-2) = 0$：
$3a(-2)^2 + 2b(-2) + c = 0 \implies 12a - 4b + c = 0 \quad \text{(方程1)}$

步骤2：求二阶导数并代入拐点条件

二阶导数为：
$y'' = 6a x + 2b$
在拐点$(1, -11)$处，二阶导数为0：
$6a(1) + 2b = 0 \implies 3a + b = 0 \quad \text{(方程2)}$

步骤3：代入拐点坐标到原方程

点$(1, -11)$在曲线上，代入原方程：
$a(1)^3 + b(1)^2 + c(1) - 1 = -11 \implies a + b + c = -10 \quad \text{(方程3)}$

步骤4：联立方程组求解

1. 由方程2得：$b = -3a$。
2. 将$b = -3a$代入方程1：
   $12a - 4(-3a) + c = 0 \implies 24a + c = 0 \implies c = -24a$
3. 将$b = -3a$和$c = -24a$代入方程3：
   $a + (-3a) + (-24a) = -10 \implies -26a = -10 \implies a = \frac{5}{13}$
4. 代入$b = -3a$和$c = -24a$：
   $b = -3 \cdot \frac{5}{13} = -\frac{15}{13}, \quad c = -24 \cdot \frac{5}{13} = -\frac{120}{13}$