5.某一复杂的系统由100个相互独立起作用的部件组成,在整个系统运行期间每个-|||-部件损坏的概率均为0.1.为了使整个系统起作用,必须至少有85个部件正常工作,求-|||-使整个系统起作用的概率.

步骤 1：确定问题类型
这是一个二项分布问题，其中每个部件的正常工作或损坏可以看作是一次伯努利试验。整个系统由100个部件组成，每个部件正常工作的概率为0.9，损坏的概率为0.1。我们需要计算至少有85个部件正常工作的概率。

步骤 2：应用二项分布公式
二项分布的概率质量函数为：
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \]
其中，\( n \)是试验次数，\( k \)是成功次数，\( p \)是每次试验成功的概率，\( \binom{n}{k} \)是组合数，表示从\( n \)个不同元素中取出\( k \)个元素的组合数。

步骤 3：计算概率
我们需要计算至少有85个部件正常工作的概率，即计算\( P(X \geq 85) \)。这可以通过计算\( P(X = 85) + P(X = 86) + ... + P(X = 100) \)得到。但是，由于计算量较大，通常使用正态分布近似二项分布来简化计算。当\( n \)较大，\( np \)和\( n(1-p) \)都大于5时，二项分布可以用正态分布近似，其中均值\( \mu = np \)，方差\( \sigma^2 = np(1-p) \)。

步骤 4：正态分布近似
对于本题，\( n = 100 \)，\( p = 0.9 \)，则\( \mu = 100 \times 0.9 = 90 \)，\( \sigma^2 = 100 \times 0.9 \times 0.1 = 9 \)，\( \sigma = \sqrt{9} = 3 \)。使用正态分布近似，计算\( P(X \geq 85) \)。由于正态分布是连续的，而二项分布是离散的，我们需要进行连续性修正，即计算\( P(X \geq 84.5) \)。

步骤 5：计算正态分布概率
将\( X \)标准化为标准正态分布\( Z \)，\( Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \)，则\( P(X \geq 84.5) = P(Z \geq \frac{84.5 - 90}{3}) = P(Z \geq -1.83) \)。查标准正态分布表，得到\( P(Z \geq -1.83) = 0.9664 \)。