单选题（共10题，100.0分） 1.（10.0分） 已知z=2xy+(x)/(y)，则当x=1，y=1，△x=1，△y=2时，dz=A. 5B. 6C. 3D. 4

本题考查全微分的计算。解题思路是先求出函数$z = 2xy+\frac{x}{y}$关于$x$和$y$的偏导数，再根据全微分公式$dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy$，结合已知的$x$、$y$、$\Delta x$、$\Delta y$的值进行计算。

步骤一：求$z$关于$x$的偏导数$\frac{\partial z}{\partial x}$

对$z = 2xy+\frac{x}{y}$关于$x$求偏导数，此时把$y$看作常数。
根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$以及$(uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime$，可得：
$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(2xy+\frac{x}{y})=\frac{\partial}{\partial x}(2xy)+\frac{\partial}{\partial x}(\frac{x}{y})$
因为$\frac{\partial}{\partial x}(2xy)=2y$，$\frac{\partial}{\partial x}(\frac{x}{y})=\frac{1}{y}$，所以$\frac{\partial z}{\partial x}=2y+\frac{1}{y}$。

步骤二：求$z$关于$y$的偏导数$\frac{\partial z}{\partial y}$

对$z = 2xy+\frac{x}{y}$关于$y$求偏导数，此时把$x$看作常数。
$\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(2xy+\frac{x}{y})=\frac{\partial}{\partial y}(2xy)+\frac{\partial}{\partial y}(\frac{x}{y})$
因为$\frac{\partial}{\partial y}(2xy)=2x$，$\frac{\partial}{\partial y}(\frac{x}{y})=x\frac{\partial}{\partial y}(y^{-1})=x\times(-1)y^{-2}=-\frac{x}{y^2}$，所以$\frac{\partial z}{\partial y}=2x-\frac{x}{y^2}$。

步骤三：计算$x = 1$，$y = 1$时$\frac{\partial z}{\partial x}$和$\frac{\partial z}{\partial y}$的值

将$x = 1$，$y = 1$代入$\frac{\partial z}{\partial x}=2y+\frac{1}{y}$，可得$\frac{\partial z}{\partial x}\big|_{x = 1,y = 1}=2\times1+\frac{1}{1}=3$。
将$x = 1$，$y = 1$代入$\frac{\partial z}{\partial y}=2x-\frac{x}{y^2}$，可得$\frac{\partial z}{\partial y}\big|_{x = 1,y = 1}=2\times1-\frac{1}{1^2}=1$。

步骤四：根据全微分公式计算$dz$

已知$\Delta x = 1$，$\Delta y = 2$，在全微分中$dx=\Delta x$，$dy=\Delta y$，由全微分公式$dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy$可得：
$dz=\frac{\partial z}{\partial x}\big|_{x = 1,y = 1}\cdot\Delta x+\frac{\partial z}{\partial y}\big|_{x = 1,y = 1}\cdot\Delta y=3\times1 + 1\times2=5$