题目
3.6 计算 (int )_(c)dfrac (1)({z)^2-z}dz, 其中C为圆周 |z|=2.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定积分路径和被积函数
给定的积分路径是圆周 $|z|=2$，被积函数为 $\dfrac{1}{{z}^{2}-z}$。首先，我们需要将被积函数分解为部分分式，以便应用柯西积分公式。
步骤 2：部分分式分解
将被积函数 $\dfrac{1}{{z}^{2}-z}$ 分解为部分分式：
$$\dfrac{1}{{z}^{2}-z} = \dfrac{1}{z(z-1)} = \dfrac{A}{z} + \dfrac{B}{z-1}$$
解得 $A = -1$，$B = 1$，因此：
$$\dfrac{1}{{z}^{2}-z} = \dfrac{-1}{z} + \dfrac{1}{z-1}$$
步骤 3：应用柯西积分公式
根据柯西积分公式，对于圆周 $|z|=2$，积分 $\int_{c} \dfrac{1}{z} dz = 2\pi i$，而 $\int_{c} \dfrac{1}{z-1} dz = 2\pi i$，因为 $z=1$ 在圆周 $|z|=2$ 内部。因此，原积分可以表示为：
$$\int_{c} \dfrac{1}{{z}^{2}-z} dz = \int_{c} \dfrac{-1}{z} dz + \int_{c} \dfrac{1}{z-1} dz = -2\pi i + 2\pi i = 0$$
给定的积分路径是圆周 $|z|=2$，被积函数为 $\dfrac{1}{{z}^{2}-z}$。首先，我们需要将被积函数分解为部分分式，以便应用柯西积分公式。
步骤 2：部分分式分解
将被积函数 $\dfrac{1}{{z}^{2}-z}$ 分解为部分分式：
$$\dfrac{1}{{z}^{2}-z} = \dfrac{1}{z(z-1)} = \dfrac{A}{z} + \dfrac{B}{z-1}$$
解得 $A = -1$，$B = 1$，因此：
$$\dfrac{1}{{z}^{2}-z} = \dfrac{-1}{z} + \dfrac{1}{z-1}$$
步骤 3：应用柯西积分公式
根据柯西积分公式，对于圆周 $|z|=2$，积分 $\int_{c} \dfrac{1}{z} dz = 2\pi i$，而 $\int_{c} \dfrac{1}{z-1} dz = 2\pi i$，因为 $z=1$ 在圆周 $|z|=2$ 内部。因此，原积分可以表示为：
$$\int_{c} \dfrac{1}{{z}^{2}-z} dz = \int_{c} \dfrac{-1}{z} dz + \int_{c} \dfrac{1}{z-1} dz = -2\pi i + 2\pi i = 0$$