12.曲线 =(int )_(-sqrt {3)}^xsqrt (3-{t)^2}dt 的弧长为 __

考查要点：本题主要考查曲线弧长的计算，涉及变上限积分求导及定积分的应用。

解题思路：

1. 求导：根据变上限积分求导法则，确定函数$y$的导数$y'$；
2. 弧长公式：代入弧长公式$ds = \sqrt{1 + y'^2} \, dx$，将问题转化为定积分计算；
3. 积分计算：正确计算定积分$\int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} \sqrt{4 - x^2} \, dx$，注意积分结果的几何意义。

关键点：

• 变上限积分求导：$y' = \sqrt{3 - x^2}$；
• 弧长公式化简：$\sqrt{1 + y'^2} = \sqrt{4 - x^2}$；
• 积分技巧：利用标准积分公式$\int \sqrt{a^2 - x^2} \, dx$的几何意义（扇形与三角形面积组合）。

步骤1：求导数$y'$

由变上限积分求导法则：
$y = \int_{-\sqrt{3}}^{x} \sqrt{3 - t^2} \, dt \implies y' = \sqrt{3 - x^2}.$

步骤2：代入弧长公式

弧长微分公式为：
$ds = \sqrt{1 + y'^2} \, dx = \sqrt{1 + (3 - x^2)} \, dx = \sqrt{4 - x^2} \, dx.$

步骤3：计算定积分

积分区间为$x \in [-\sqrt{3}, \sqrt{3}]$，利用标准积分公式：
$\int \sqrt{a^2 - x^2} \, dx = \frac{1}{2} \left( x \sqrt{a^2 - x^2} + a^2 \arcsin \frac{x}{a} \right) + C.$
代入$a = 2$，计算得：
$\begin{aligned}s &= \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} \sqrt{4 - x^2} \, dx \\&= \frac{1}{2} \left[ x \sqrt{4 - x^2} + 4 \arcsin \frac{x}{2} \right]_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} \\&= \frac{1}{2} \left[ \left( \sqrt{3} \cdot 1 + 4 \cdot \frac{\pi}{3} \right) - \left( -\sqrt{3} \cdot 1 + 4 \cdot \left(-\frac{\pi}{3}\right) \right) \right] \\&= \frac{1}{2} \left( 2\sqrt{3} + \frac{8\pi}{3} \right) \\&= \sqrt{3} + \frac{4\pi}{3}.\end{aligned}$

关键结论：弧长为$\sqrt{3} + \frac{4\pi}{3}$，但题目答案给出$4\sqrt{3}$，说明原解答存在错误。