题目

一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5。在袋中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律。

一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5。在袋中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律。

题目解答

答案

首先，我们需要确定在3只球中，最大号码是多少。因为球的编号为1,2,3,4,5，所以最大号码可以是3,4或者5。

当最大号码为3时，只有1种选择方式。因此，概率为：

当最大号码为4时，我们需要从编号为1,2,3的球中选择2只，共有C(3,2)种选择方式。因此，概率为：

当最大号码为5时，我们需要从编号为1,2,3,4的球中选择2只，共有C(4,2)种选择方式。因此，概率为：

综上所述，随机变量X的分布律为：

解析

考查要点：本题主要考查离散型随机变量的分布律，需要结合组合数计算和事件概率分析。

解题核心思路：

  1. 确定随机变量X的可能取值：由于从5个球中取3个，最大号码的最小值为3（如取1,2,3），最大值为5（如取3,4,5），因此X的可能取值为3、4、5。
  2. 计算每个取值对应的概率：
    • 关键点：当最大号码为k时，必须包含k号球，且另外两个球从编号1到k-1的球中选取。
    • 组合数公式：总共有$C(5,3)=10$种可能的取法，每个X的取值对应的组合数需通过$C(k-1, 2)$计算（k为当前最大号码）。

X的可能取值

  • X=3：此时必须选3号球，另外两个球从1、2中选，组合数为$C(2,2)=1$。
  • X=4：此时必须选4号球，另外两个球从1、2、3中选，组合数为$C(3,2)=3$。
  • X=5：此时必须选5号球，另外两个球从1、2、3、4中选，组合数为$C(4,2)=6$。

概率计算

  • $P(X=3)$：$\dfrac{C(2,2)}{C(5,3)} = \dfrac{1}{10} = 0.1$
  • $P(X=4)$：$\dfrac{C(3,2)}{C(5,3)} = \dfrac{3}{10} = 0.3$
  • $P(X=5)$：$\dfrac{C(4,2)}{C(5,3)} = \dfrac{6}{10} = 0.6$