计算下列极限lim _(xarrow 1)dfrac (sqrt [3]{x)-1}(sqrt {x)-1}=______

考查要点：本题主要考查分式极限的计算方法，特别是处理0/0型不定式的技巧，涉及等价无穷小替换或泰勒展开的应用。

解题核心思路：
当$x \rightarrow 1$时，分子$\sqrt[3]{x}-1$和分母$\sqrt{x}-1$均趋近于0，属于0/0型不定式。此时可通过变量替换将问题转化为关于$t \rightarrow 0$的极限，再利用等价无穷小替换或泰勒展开简化表达式，最终约分求解。

破题关键点：

1. 变量替换：令$t = x - 1$，将极限转化为$t \rightarrow 0$的形式。
2. 等价无穷小替换：对$\sqrt[3]{1+t}$和$\sqrt{1+t}$进行一阶泰勒展开，保留主部后约去高阶小项。
3. 约分简化：通过分子和分母的等价形式直接求比值。

步骤1：变量替换
令$t = x - 1$，则当$x \rightarrow 1$时，$t \rightarrow 0$。原式可改写为：
$\lim_{t \rightarrow 0} \frac{\sqrt[3]{1+t} - 1}{\sqrt{1+t} - 1}$

步骤2：泰勒展开或等价无穷小替换
对分子和分母分别展开：

• 分子：$\sqrt[3]{1+t} = 1 + \frac{t}{3} + o(t)$，因此$\sqrt[3]{1+t} - 1 \approx \frac{t}{3}$。
• 分母：$\sqrt{1+t} = 1 + \frac{t}{2} + o(t)$，因此$\sqrt{1+t} - 1 \approx \frac{t}{2}$。

步骤3：约分求极限
将分子和分母的等价形式代入原式：
$\lim_{t \rightarrow 0} \frac{\frac{t}{3}}{\frac{t}{2}} = \lim_{t \rightarrow 0} \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$