【38】计算极限：lim_(xto0)((frac(1+cos x)/(2))^2x-1)(ln(1+2x^3)).

考查要点：本题主要考查等价无穷小替换和泰勒展开的应用，以及处理复杂分式极限的化简技巧。

解题核心思路：

1. 分子部分：将$\left(\frac{1+\cos x}{2}\right)^{2x}$展开为泰勒多项式，利用$(1+u)^a \approx 1 + a u$（当$u \to 0$且$a u$较小时）。
2. 分母部分：直接应用等价无穷小$\ln(1+y) \sim y$（当$y \to 0$）。
3. 整体化简：将分子和分母的高阶无穷小替换后，直接约分求极限。

破题关键点：

• 正确展开$\cos x$的泰勒多项式，并化简$\frac{1+\cos x}{2}$。
• 合理选择泰勒展开的阶数，确保近似后的表达式能准确反映极限行为。
• 注意指数函数的展开条件，确保$a u$的阶数足够小。

步骤1：展开$\cos x$并化简分子中的底数
当$x \to 0$时，$\cos x$的泰勒展开为：
$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2).$
代入$\frac{1+\cos x}{2}$得：
$\frac{1+\cos x}{2} = \frac{1 + \left(1 - \frac{x^2}{2}\right)}{2} = 1 - \frac{x^2}{4} + o(x^2).$
令$u = -\frac{x^2}{4}$，则底数可表示为$1 + u$。

步骤2：展开分子中的指数表达式
将$\left(1 + u\right)^{2x}$展开为泰勒多项式（保留一阶项）：
$\left(1 + u\right)^{2x} \approx 1 + 2x \cdot u = 1 - \frac{x^3}{2} + o(x^3).$
因此，分子部分为：
$\left(1 + u\right)^{2x} - 1 \approx -\frac{x^3}{2} + o(x^3).$

步骤3：处理分母的对数表达式
当$x \to 0$时，应用等价无穷小$\ln(1+y) \sim y$（$y = 2x^3$）：
$\ln(1 + 2x^3) \sim 2x^3.$

步骤4：代入并化简极限表达式
将分子和分母的近似结果代入原式：
$\lim_{x \to 0} \frac{-\frac{x^3}{2} + o(x^3)}{2x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{1}{2}}{2} = -\frac{1}{4}.$