用洛必达法则求下列极限:-|||-(13) lim _(xarrow 1)(dfrac (2)({x)^2-1}-dfrac (1)(x-1)) ;-|||-(15) limx^sinx;-|||-(14) lim _(xarrow infty )((1+dfrac {a)(x))}^x =

题目（13）：$\lim _{x\rightarrow 1}\left(\dfrac {2}{x^{2}-1}-\dfrac {1}{x-1}\right)$

知识考察：洛必达法则（$\frac{0}{0}$型）、分式通分化简。
解题思路：
原式为两项分式差的极限，直接代入$x=1$会出现分母为$0$的不定型，需先通分化简，再求极限。

• 步骤1：通分：$x^2-1=(x-1)(x+1)$，故：
  $\frac{2}{x^2-1}-\frac{1}{x-1}=\frac{2 - (x+1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{1 - x}{(x-1)(x+1)}=\frac{-(x - 1)}{(x-1)(x+1)}$
• 步骤2：约分化简：当$x\rightarrow1$时，$x\neq1$，可约去$(x-1)$，得：
  $\frac{-(x - 1)}{(x-1)(x+1)}=-\frac{1}{x+1}$
• 步骤3：代入极限：$\lim_{x\rightarrow1}\left(-\frac{1}{x+1}\right)=-\frac{1}{1+1}=-\frac{1}{2}$。

题目（14）：$\lim _{x\rightarrow \infty }\left(1+\dfrac {a}{x}\right)^{x}$

知识考察：洛必达法则（$\frac{0}{0}$型）、重要极限变形、指数对数转化。
解题思路：
此为$1^\infty$型极限，需转化为指数形式$e^u$，再用洛必达法则求$u$的极限。

• 步骤1：指数对数转化：令$u=x\ln\left(1+\frac{a}{x}\right)$，则原式$=e^u$，故极限为$e^{\lim_{x\rightarrow\infty}u}$。
• 步骤2：求$\lim_{x\rightarrow\infty}u$：$u=x\ln\left(1+\frac{a}{x}\right)$为$\infty\cdot0$型，转化为$\frac{0}{0}$型：
  $u=\frac{\ln\left(1+\frac{a}{x}\right)}{\frac{1}{x}}$
  对分子分母分别求导（洛必达法则）：
  分子导数：$\frac{1}{1+\frac{a}{x}}\cdot\left(-\frac{a}{x^2}\right)=\frac{-a}{x(x+a)}$
  分母导数：$-\frac{1}{x^2}$
  故：
  $\lim_{x\rightarrow\infty}u=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\frac{-a}{x(x+a)}}{-\frac{1}{x^2}}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{a x}{x+a}=a$
• 步骤3：指数形式还原：$\lim_{x\rightarrow\infty}\left(1+\frac{a}{x}\right)^x=e^a$。

题目（15）：$\lim _{x\rightarrow 0^{+}}x^{\sin x}$（注：原答案中写$x\rightarrow0^-$，但$\sin x$在$x\rightarrow0^-$时为负，$x^负$无意义，应为$x\rightarrow0^+$）

知识考察：洛必达法则（$\frac{0}{0}$型）、指数对数转化、等价无穷小。
解题思路：
此为$0^0$型极限，转化为指数形式$e^u$（$u=\sin x\ln x$），再求$u$的极限。

• 步骤1：指数对数转化：令$u=\sin x\ln x$，则原式$=e^u$，故极限为$e^{\lim_{x\rightarrow0^+}u}$。
• 步骤2：求$\lim_{x\rightarrow0^+}u$：$u=\sin x\ln x$为$0\cdot\infty$型，转化为$\frac{0}{0}$型：
  $u=\frac{\ln x}{\frac{1}{\sin x}}$
  对分子分母分别求导（洛必达法则）：
  分子导数：$\frac{1}{x}$
  分母导数：$\frac{-\cos x}{\sin^2 x}$（或用等价无穷小：$\sin x\sim x$，则$\frac{1}{\sin x}\sim\frac{1}{x}$）
  简化：$\lim_{x\rightarrow0^+}\sin x\ln x=\lim_{x\rightarrow0^+}\frac{\sin x}{x}\cdot x\ln x=1\cdot0=0$（更简便）
• 步骤3：指数形式还原：$\lim_{x\rightarrow0^+}x^{\sin x}=e^0=1$。