lim_(n→∞)(({2^n)+(3^n)})/(({2^n+1)+{3^n+1)}}= ____ ．

考查要点：本题主要考查数列极限的计算，特别是涉及指数函数的极限问题。关键在于识别主导项并进行适当的变形。

解题思路：当$n$趋近于无穷大时，指数函数中底数较大的项（如$3^n$）会主导整个表达式。通过将分子和分母同时除以主导项$3^n$，可以将原式转化为更易处理的形式，进而利用极限的运算性质求解。

破题关键：

1. 识别主导项：比较$2^n$和$3^n$的增长速度，确定$3^n$是主导项。
2. 变形化简：通过分子分母同除以$3^n$，将原式转化为关于$\left(\frac{2}{3}\right)^n$的表达式。
3. 极限运算：利用$\lim_{n→∞} \left(\frac{2}{3}\right)^n = 0$简化表达式，最终求得极限值。

步骤1：提取主导项
分子和分母中的主导项均为$3^n$，将分子和分母同时除以$3^n$：
$\frac{2^n + 3^n}{2^{n+1} + 3^{n+1}} = \frac{\frac{2^n}{3^n} + 1}{\frac{2^{n+1}}{3^n} + 3} = \frac{\left(\frac{2}{3}\right)^n + 1}{2 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^n + 3}.$

步骤2：计算极限
当$n→∞$时，$\left(\frac{2}{3}\right)^n → 0$，因此：
$\lim_{n→∞} \frac{\left(\frac{2}{3}\right)^n + 1}{2 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^n + 3} = \frac{0 + 1}{0 + 3} = \frac{1}{3}.$