7.当n→∞时,与 sin dfrac (1)(n) 不等价的无穷小量是 ()-|||-A. ln (1+dfrac (1)(n)) B. dfrac (1)(1+n) C. ^dfrac (1{n)}-1 D. dfrac (1)(1+{n)^2}

本题主要考察无穷小量等价替换的知识，当$x \to 0$时，常见的等价无穷小包括：$\sin x \sim x$、$\ln(1+x) \sim x$、$e^x - 1 \sim x$、$\frac{1}{1+x} \sim 1 - x$（但当$x \to 0$时，$\frac{1}{1+x} \approx 1 - x \approx 1$，不过更准确的是$\frac{1}{1+x} = \frac{1}{n+1} \sim \frac{1}{n}$，因为$n \to \infty$时$\frac{1}{n}$是无穷小，$\frac{1}{n+1} = \frac{1}{n(1+\frac{1}{n})} \sim \frac{1}{n}(1 - \frac{1}{n}) \sim \frac{1}{n}$），以及高阶无穷小的判断。

选项分析：

• 选项A：$\ln(1+\frac{1}{n})$
  当$n \to \infty$时，$\frac{1}{n} \to 0$，根据等价无穷小$\ln(1+x) \sim x$（$x \to 0$），得$\ln(1+\frac{1}{n}) \sim \frac{1}{n}$。而$\sin\frac{1}{n} \sim \frac{1}{n}$，故两者等价，排除A。

• 选项B：$\frac{1}{1+n}$
  当$n \to \infty$时，$\frac{1}{n+1} = \frac{1}{n(1+\frac{1}{n})} = \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{1+\frac{1}{n}}$，根据等价无穷小$\frac{1}{1+x} \sim 1 - x$（$x \to 0$），得$\frac{1}{1+\frac{1}{n}} \sim 1 - \frac{1}{n}$，因此$\frac{1}{n+1} \sim \frac{1}{n}(1 - \frac{1}{n}) \sim \frac{1}{n}$，与$\sin\frac{1}{n}$等价，排除B。

• 选项C：$e^{\frac{1}{n}} - 1$
  当$n \to \infty$时，$\frac{1}{n} \to 0$，根据等价无穷小$e^x - 1 \sim x$（$x \to 0$），得$e^{\frac{1}{n}} - 1 \sim \frac{1}{n}$，与$\sin\frac{1}{n}$等价，排除C。

• 选项D：$\frac{1}{1+n^2}$
  当$n \to \infty$时，$\frac{1}{1+n^2} \approx \frac{1}{n^2}$，是$\frac{1}{n}$的高阶无穷小（$\frac{1}{n^2} = o(\frac{1}{n})$），而$\sin\frac{1}{n} \sim \frac{1}{n}$，故$\frac{1}{1+n^2}$与$\sin\frac{1}{n}$不等价，符合题意。