曲线y = int _(0)^xtan tdt(0 leq x leq (pi)/(4)) 的弧长，s=____________。

步骤 1：计算积分
首先，我们需要计算给定的积分 $\int _{0}^{x}\tan tdt$。由于 $\tan t = \frac{\sin t}{\cos t}$，我们可以使用代换法来计算这个积分。设 $u = \cos t$，则 $du = -\sin t dt$。因此，积分可以写为：
$$\int _{0}^{x}\tan tdt = \int _{0}^{x}\frac{\sin t}{\cos t}dt = -\int _{1}^{\cos x}\frac{1}{u}du = -\ln|\cos x| + \ln|1| = -\ln|\cos x|$$
步骤 2：计算弧长
根据弧长公式，曲线 $y = f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的弧长 $s$ 可以表示为：
$$s = \int _{a}^{b}\sqrt{1 + (f'(x))^2}dx$$
对于给定的曲线 $y = -\ln|\cos x|$，我们需要计算 $y'$，即 $y$ 关于 $x$ 的导数。由于 $y = -\ln|\cos x|$，则 $y' = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x$。因此，弧长公式变为：
$$s = \int _{0}^{\frac{\pi}{4}}\sqrt{1 + (\tan x)^2}dx$$
步骤 3：计算积分
由于 $1 + (\tan x)^2 = \sec^2 x$，则积分可以写为：
$$s = \int _{0}^{\frac{\pi}{4}}\sqrt{\sec^2 x}dx = \int _{0}^{\frac{\pi}{4}}|\sec x|dx$$
由于在区间 $[0, \frac{\pi}{4}]$ 上 $\sec x > 0$，则 $|\sec x| = \sec x$。因此，积分变为：
$$s = \int _{0}^{\frac{\pi}{4}}\sec xdx$$
这个积分可以通过代换法来计算。设 $u = \tan x$，则 $du = \sec^2 x dx$。因此，积分可以写为：
$$s = \int _{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{1 + u^2}}du$$
这个积分是标准的积分，其结果为：
$$s = \ln\left( \sqrt{2}+1\right)$$