设随机变量 X 在 [0,1] 上服从均匀分布，Y 在 [0,2] 上服从均匀分布，f_1(x)，f_2(x) 分别为 X 和 Y 的密度函数，则下列函数中，不是密度函数的是(）。 A. (2)/(3)f_1(x)+ (1)/(3)f_2(x)B. (1)/(3)f_1(x)+ (2)/(3)f_2(x)C. 2f_1(x)- f_2(x)D. 2f_2(x)- f_1(x)

关键知识点：概率密度函数的两个基本性质：

1. 非负性：对所有$x$，$f(x) \geq 0$；
2. 归一性：$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, dx = 1$。

解题核心思路：
题目给出四个选项，均为两个均匀分布密度函数的线性组合。需逐一验证每个选项是否满足非负性和归一性。特别地，非负性往往更容易被破坏，因此优先检查这一点。

选项分析

选项A：$\frac{2}{3}f_1(x) + \frac{1}{3}f_2(x)$

• 非负性：系数$\frac{2}{3}$和$\frac{1}{3}$均为正，且$f_1(x)$和$f_2(x)$本身非负，故组合后非负。
• 归一性：
  $\int \left( \frac{2}{3}f_1(x) + \frac{1}{3}f_2(x) \right) dx = \frac{2}{3} \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1 = 1$。
  满足条件，是密度函数。

选项B：$\frac{1}{3}f_1(x) + \frac{2}{3}f_2(x)$

• 非负性：同理，系数均为正，组合后非负。
• 归一性：
  $\int \left( \frac{1}{3}f_1(x) + \frac{2}{3}f_2(x) \right) dx = \frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot 1 = 1$。
  满足条件，是密度函数。

选项C：$2f_1(x) - f_2(x)$

• 非负性：
  • 当$x \in [0,1]$时，$f_1(x)=1$，$f_2(x)=\frac{1}{2}$，则$2 \cdot 1 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \geq 0$；
  • 当$x \in (1,2]$时，$f_1(x)=0$，$f_2(x)=\frac{1}{2}$，则$2 \cdot 0 - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} < 0$。
    存在负值，不满足非负性，直接排除。

选项D：$2f_2(x) - f_1(x)$

• 非负性：
  • 当$x \in [0,1]$时，$f_1(x)=1$，$f_2(x)=\frac{1}{2}$，则$2 \cdot \frac{1}{2} - 1 = 0 \geq 0$；
  • 当$x \in (1,2]$时，$f_1(x)=0$，$f_2(x)=\frac{1}{2}$，则$2 \cdot \frac{1}{2} - 0 = 1 \geq 0$；
  • 其余区域均为$0$。
    非负性成立。
• 归一性：
  $\int \left( 2f_2(x) - f_1(x) \right) dx = 2 \cdot 1 - 1 = 1$。
  满足条件，是密度函数。