题目
1.用二分法求方程 ^2-x-1=0 的正根,要求误差小于0.05.
题目解答
答案
解设 f(x)=x^{2}-x-1 ,因为 f(0)=-1<0,f(2)=1>0 ,所以 [0,2] 为 f(x) 的有根区间.又 f'(x)=2 x-1 ,故当 0<\\frac{1}{2} 时, f(x) 单调递减,当 x>\\frac{1}{2} 时, f(x) 单调递增.而 f(\\frac{1}{2})=-\\frac{5}{4},f(0)=-1 ,由单调性知 f(x) 的唯一正根 x^{*}\\in(1.5,2). 根据二分法的误差估计式,要求误差小于0.05,只需 \\frac{1}{2^{k+1}}<0.05 ,解得 k+1>4.322 ,故至少应二分6次.具体计算结果见下表 .k b_{k}x_{k}f(x_{k}) 的符号 k at bk x_{k}f(x_{k}) 的符号 2 1.5_3 1.5 1.625 1.5625 0 1 1 1.5 2 1.75---4 1.5625 1.625 1.59375 2 1.5 1.75 1.625+5 1.59375 1.625 1.609375 因此 x^{*}\\approx x_{5}=1.609375.
解析
步骤 1：确定有根区间
设 $f(x) = x^2 - x - 1$，因为 $f(0) = -1 < 0$，$f(2) = 1 > 0$，所以 $[0, 2]$ 为 $f(x)$ 的有根区间。
步骤 2：确定正根所在的区间
$f'(x) = 2x - 1$，当 $0 < x < \frac{1}{2}$ 时，$f(x)$ 单调递减，当 $x > \frac{1}{2}$ 时，$f(x)$ 单调递增。而 $f(\frac{1}{2}) = -\frac{5}{4}$，$f(0) = -1$，由单调性知 $f(x)$ 的唯一正根 $x^*$ 在 $(1.5, 2)$ 内。
步骤 3：确定二分次数
根据二分法的误差估计式，要求误差小于0.05，只需 $\frac{1}{2^{k+1}} < 0.05$，解得 $k+1 > 4.322$，故至少应二分6次。
步骤 4：具体计算
具体计算结果见下表。
| k | b_{k} | x_{k} | f(x_{k}) 的符号 |
|---|-------|-------|-----------------|
| 2 | 1.5 | 1.625 | + |
| 3 | 1.5 | 1.5625| - |
| 4 | 1.5625| 1.625 | + |
| 5 | 1.59375| 1.609375| + |
设 $f(x) = x^2 - x - 1$，因为 $f(0) = -1 < 0$，$f(2) = 1 > 0$，所以 $[0, 2]$ 为 $f(x)$ 的有根区间。
步骤 2：确定正根所在的区间
$f'(x) = 2x - 1$，当 $0 < x < \frac{1}{2}$ 时，$f(x)$ 单调递减，当 $x > \frac{1}{2}$ 时，$f(x)$ 单调递增。而 $f(\frac{1}{2}) = -\frac{5}{4}$，$f(0) = -1$，由单调性知 $f(x)$ 的唯一正根 $x^*$ 在 $(1.5, 2)$ 内。
步骤 3：确定二分次数
根据二分法的误差估计式，要求误差小于0.05，只需 $\frac{1}{2^{k+1}} < 0.05$，解得 $k+1 > 4.322$，故至少应二分6次。
步骤 4：具体计算
具体计算结果见下表。
| k | b_{k} | x_{k} | f(x_{k}) 的符号 |
|---|-------|-------|-----------------|
| 2 | 1.5 | 1.625 | + |
| 3 | 1.5 | 1.5625| - |
| 4 | 1.5625| 1.625 | + |
| 5 | 1.59375| 1.609375| + |