题目

极限的数学语言借助不等式,通过ε和N之间的关系,定量-|||-地、具体地刻划了两个"无限过程"之间的联系。在该定义-|||-中,涉及到的仅仅是`数及其大小关系`,此外只是用给定、-|||-存在、任何等词语,已经摆脱了"趋近"一词,不再求助于运-|||-动的直观。这种"静态--动态--静态"的螺旋式的上升演-|||-变,反映了数学发展的辩证规律。-|||-下列说法错误的是 () 。-|||-A. lim _(narrow infty )(x)_(n)=a →对任意正数 ε0, ∃N,使当 gt N 时,有 |(x)_(n)-a|lt varepsilon ; 而当 leqslant N 时-|||-有|(x)_(n)-a|geqslant s

题目解答

答案

本题考查极限的定义。极限的定义中，对任意正数ε，存在正整数N，当n>N时，有|xn-a|<ε。a选项，对任意正数ε><1，∃N，当n>N时，有|xn-a|<√ε，满足极限的定义，故A正确。B选项，对任意正整数k，∃N，当n>N时，有|xn-a|<1/k，满足极限的定义，故B正确。C选项，对∀ε>0，存在有限个正整数n，使|xn-a|≥ε，不满足极限的定义，故C错误。D选项，对∀ε>0，∃N，使当n>N时，有|xn-a|<ε；而当n≤n时有|xn-a|≥ε，满足极限的定义，故d正确。故本题答案选c。>

解析

本题考查数列极限的定义理解。核心要点在于明确极限定义中的两个关键点：

  1. 对任意正数ε，存在正整数N，使得当n>N时，|xₙ - a| < ε；
  2. 前面有限项可能不满足条件，但之后的无穷多项必须满足。

错误选项的判断需紧扣定义，尤其注意：

  • 选项是否错误限制了不满足条件的项的数量（如“有限个”）；
  • 是否错误强加了前面项必须全部不满足的条件。

选项分析

选项A

对任意正数c<1，存在N，当n>N时，|xₙ -a| < √c。

  • √c是正数，符合极限定义中“任意正数”的要求，正确。

选项B

对任意正整数k，存在N，当n>N时，|xₙ -a| < 1/k。

  • 1/k是正数，且k可任意大，符合极限定义，正确。

选项C

对任意ε>0，存在有限个正整数n，使|xₙ -a| ≥ ε。

  • 错误。极限定义允许n≤N时有无限多个项不满足条件（只要这些项的数量是无限的），而选项C错误地限制为“有限个”。

选项D

对任意ε>0，存在N，使当n>N时，|xₙ -a| < ε；当n≤N时，|xₙ -a| ≥ ε。

  • 错误。极限定义不要求n≤N时必须全部不满足，前面的项可能有部分满足。