[题目]微分方程 =dfrac (y(1-x))(x) 的通解是 __-|||-__

考查要点：本题主要考查可分离变量微分方程的解法，需要将方程中的变量分离后分别积分，最终得到通解。

解题核心思路：

1. 分离变量：将方程改写为仅含$y$的项和仅含$x$的项分别位于等式两边。
2. 积分求解：对两边分别积分，注意积分常数的处理。
3. 整理结果：通过代数变形将结果转化为显式表达式。

破题关键点：

• 正确分离变量，确保方程两边仅含单一变量。
• 积分时注意分解分式，简化计算过程。
• 最终结果需用指数函数消去对数，得到通解的标准形式。

步骤1：分离变量
原方程为：
$y' = \frac{y(1-x)}{x}$
将方程改写为微分形式：
$\frac{dy}{dx} = \frac{y(1-x)}{x}$
两边同乘$dx$并除以$y$，得到：
$\frac{dy}{y} = \frac{1-x}{x} dx$

步骤2：积分求解
对两边分别积分：

• 左边积分：$\int \frac{1}{y} dy = \ln |y| + C_1$
• 右边积分：将$\frac{1-x}{x}$分解为$\frac{1}{x} - 1$，则：
  $\int \left( \frac{1}{x} - 1 \right) dx = \ln |x| - x + C_2$

综合两边结果：
$\ln |y| = \ln |x| - x + C$
（其中$C = C_2 - C_1$为常数）

步骤3：整理结果
对等式两边取指数消去对数：
$|y| = e^{\ln |x| - x + C} = e^{\ln |x|} \cdot e^{-x} \cdot e^{C} = |x| e^{-x} \cdot C'$
（其中$C' = e^{C}$为正数常数）
去掉绝对值符号并合并常数，得通解：
$y = C x e^{-x}$
（$C$为任意常数）