设|A|=1，|B|=2，A=(α1,α2,α3,α)，B=(α1,α2,α3,β)，其中a1,a2,a3,a为四维列向量，则|A-2B|=(）A. 56B. -7C. -21D. 3

考查要点：本题主要考查行列式的性质，特别是行列式的多线性性质和列操作对行列式的影响。

解题核心思路：

1. 分解矩阵结构：观察矩阵$A$和$B$的前三列相同，第四列不同，从而将$A-2B$的前三列提取公因子$-1$。
2. 行列式拆分：利用行列式的多线性性质，将第四列的线性组合拆分为两个行列式的差。
3. 代入已知值：结合已知的$|A|=1$和$|B|=2$，计算最终结果。

破题关键点：

• 提取公因子：前三列的公因子$-1$会带来$(-1)^3$的系数。
• 行列式拆分：将第四列的$\alpha - 2\beta$拆分为$\alpha$和$\beta$的线性组合，分别对应$|A|$和$|B|$。

步骤1：分解矩阵$A-2B$的结构
矩阵$A$和$B$的前三列均为$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$，第四列分别为$\alpha$和$\beta$。因此：
$A - 2B = \begin{pmatrix}\alpha_1 & \alpha_2 & \alpha_3 & \alpha\end{pmatrix} - 2 \begin{pmatrix}\alpha_1 & \alpha_2 & \alpha_3 & \beta\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\alpha_1 & -\alpha_2 & -\alpha_3 & \alpha - 2\beta\end{pmatrix}.$

步骤2：提取前三列的公因子$-1$
前三列均可提取公因子$-1$，行列式变为：
$|A - 2B| = (-1)^3 \cdot \begin{vmatrix}\alpha_1 & \alpha_2 & \alpha_3 & \alpha - 2\beta\end{vmatrix}.$

步骤3：拆分第四列的行列式
利用行列式的多线性性质，将第四列拆分为$\alpha$和$\beta$的线性组合：
$\begin{vmatrix}\alpha_1 & \alpha_2 & \alpha_3 & \alpha - 2\beta\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}\alpha_1 & \alpha_2 & \alpha_3 & \alpha\end{vmatrix} - 2 \begin{vmatrix}\alpha_1 & \alpha_2 & \alpha_3 & \beta\end{vmatrix}.$

步骤4：代入已知行列式值
根据题意，$\begin{vmatrix} \alpha_1 & \alpha_2 & \alpha_3 & \alpha \end{vmatrix} = |A| = 1$，$\begin{vmatrix} \alpha_1 & \alpha_2 & \alpha_3 & \beta \end{vmatrix} = |B| = 2$，因此：
$\begin{vmatrix}\alpha_1 & \alpha_2 & \alpha_3 & \alpha - 2\beta\end{vmatrix} = 1 - 2 \times 2 = -3.$

步骤5：计算最终结果
将结果代入原式：
$|A - 2B| = (-1)^3 \times (-3) = (-1) \times (-3) = 3.$