4.设随机变量X服从二项分布B(2,p),随机变量Y服从二项分布B(4,p).若-|||-. Xgeqslant 1 =dfrac (8)(9) ,试求 (Ygeqslant 1) -

考查要点：本题主要考查二项分布的概率计算，以及利用补集思想求解概率问题。

解题核心思路：

1. 利用补集简化计算：对于“至少一个成功”的概率，转化为计算“全部不成功”的补集。
2. 建立方程求参数：通过已知条件建立关于参数$p$的方程，解出$p$的值。
3. 代入参数求目标概率：将求得的$p$代入目标分布，计算所求概率。

破题关键点：

• 二项分布公式：$P(X=k) = C(n,k)p^k(1-p)^{n-k}$。
• 补集思想：$P(X \geq 1) = 1 - P(X=0)$。

步骤1：求参数$p$

1. 根据题意列方程：
   已知$X \sim B(2,p)$，且$P(X \geq 1) = \dfrac{8}{9}$，则
   $P(X \geq 1) = 1 - P(X=0) = \dfrac{8}{9}.$
   因此，
   $P(X=0) = 1 - \dfrac{8}{9} = \dfrac{1}{9}.$

2. 代入二项分布公式：
   $X=0$的概率为
   $P(X=0) = C(2,0)p^0(1-p)^2 = (1-p)^2.$
   由此得方程：
   $(1-p)^2 = \dfrac{1}{9}.$

3. 解方程求$p$：
   解得
   $1-p = \dfrac{1}{3} \quad (\text{舍去负根}),$
   因此
   $p = \dfrac{2}{3}.$

步骤2：求$P(Y \geq 1)$

1. 计算$Y=0$的概率：
   $Y \sim B(4,p)$，则
   $P(Y=0) = C(4,0)p^0(1-p)^4 = (1-p)^4.$
   代入$p = \dfrac{2}{3}$，得
   $P(Y=0) = \left(1 - \dfrac{2}{3}\right)^4 = \left(\dfrac{1}{3}\right)^4 = \dfrac{1}{81}.$

2. 利用补集求结果：
   $P(Y \geq 1) = 1 - P(Y=0) = 1 - \dfrac{1}{81} = \dfrac{80}{81}.$