题目

若X是n次独立重复试验中事件A出现的次数，P A. =p，则对任意的正数varepsilon，有lim_(n to +infty) P(|(X)/(n)-p| >varepsilon)=（）A. 0B. 1C. Phi(1) D. Phi(0)

若$X$是$n$次独立重复试验中事件$A$出现的次数，$P

  • A. =p$，则对任意的正数$\varepsilon$，有$\lim_{n \to +\infty} P\left(\left|\frac{X}{n}-p\right| >\varepsilon\right)=$（）
  • A. 0
  • B. 1
  • C. $\Phi

(1) $

D. $\Phi(0)$

题目解答

答案

为了解决这个问题，我们需要使用大数定律，它描述了在大量重复试验中，事件发生的频率接近其理论概率的倾向。具体来说，我们将使用切比雪夫不等式，它为随机变量偏离其期望值的一定范围的概率提供了一个上限。 已知： - $X$ 是 $n$ 次独立重复试验中事件 $A$ 出现的次数。 - $P(A) = p$。 - 我们需要找到 $\lim_{n \to +\infty} P\left(\frac{X}{n} - p > \varepsilon\right)$。 首先，让我们回顾切比雪夫不等式。对于任何具有有限期望值 $\mu$ 和有限非零方差 $\sigma^2$ 的随机变量 $Y$，以及任何正数 $\varepsilon$，切比雪夫不等式表明： \[P(|Y - \mu| \geq \varepsilon) \leq \frac{\sigma^2}{\varepsilon^2}.\] 在我们的情况下，$Y = \frac{X}{n}$，$\mu = p$，且 $\sigma^2 = \frac{p(1-p)}{n}$（因为 $X$ 是二项随机变量，其方差为 $np(1-p)$，而 $\frac{X}{n}$ 的方差为 $\frac{np(1-p)}{n^2} = \frac{p(1-p)}{n}$）。 我们感兴趣的是 $P\left(\frac{X}{n} - p > \varepsilon\right)$。注意到： \[P\left(\frac{X}{n} - p > \varepsilon\right) \leq P\left(\left|\frac{X}{n} - p\right| > \varepsilon\right).\] 使用切比雪夫不等式，我们得到： \[P\left(\left|\frac{X}{n} - p\right| > \varepsilon\right) \leq \frac{\frac{p(1-p)}{n}}{\varepsilon^2} = \frac{p(1-p)}{n\varepsilon^2}.\] 当 $n \to +\infty$ 时，$\frac{p(1-p)}{n\varepsilon^2} \to 0$。因此： \[\lim_{n \to +\infty} P\left(\left|\frac{X}{n} - p\right| > \varepsilon\right) = 0.\] 由于 $P\left(\frac{X}{n} - p > \varepsilon\right) \leq P\left(\left|\frac{X}{n} - p\right| > \varepsilon\right)$，可以得出： \[\lim_{n \to +\infty} P\left(\frac{X}{n} - p > \varepsilon\right) = 0.\] 因此，正确答案是 $\boxed{A}$。

解析

本题考查大数定律以及切比雪夫不等式的应用。解题思路是先明确随机变量$X$服从的分布，求出其期望和方差，再利用切比雪夫不等式得到$P\left(\left|\frac{X}{n}-p\right| >\varepsilon\right)$的一个上界，最后通过求极限得出结果。

  1. 确定随机变量$X$的分布及相关参数：
    已知$X$是$n$次独立重复试验中事件$A$出现的次数，$P(A)=p$，所以$X\sim B(n,p)$。
    根据二项分布的期望和方差公式，可得$E(X)=np$，$D(X)=np(1 - p)$。
  2. 计算$\frac{X}{n}$的期望和方差：
    • 期望：根据期望的性质$E(aY)=aE(Y)$（$a$为常数，$Y$为随机变量），可得$E(\frac{X}{n})=\frac{1}{n}E(X)=\frac{1}{n}\times np = p$。
    • 方差：根据方差的性质$D(aY)=a^2D(Y)$（$a$为常数，$Y$为随机变量），可得$D(\frac{X}{n})=\frac{1}{n^2}D(X)=\frac{1}{n^2}\times np(1 - p)=\frac{p(1 - p)}{n}$。
  3. 应用切比雪夫不等式：
    切比雪夫不等式为对于任意随机变量$Y$，若$E(Y)=\mu$，$D(Y)=\sigma^2$，则对于任意正数$\varepsilon$，有$P(|Y - \mu| \geq \varepsilon) \leq \frac{\sigma^2}{\varepsilon^2}$。
    令$Y = \frac{X}{n}$，$\mu = p$，$\sigma^2 = \frac{p(1 - p)}{n}$，则$P\left(\left|\frac{X}{n}-p\right| >\varepsilon\right) \leq \frac{\frac{p(1 - p)}{n}}{\varepsilon^2}=\frac{p(1 - p)}{n\varepsilon^2}$。
  4. 求极限：
    因为$0\leq P\left(\left|\frac{X}{n}-p\right| >\varepsilon\right) \leq \frac{p(1 - p)}{n\varepsilon^2}$，且$\lim_{n \to +\infty} \frac{p(1 - p)}{n\varepsilon^2}=0$（$p(1 - p)$和$\varepsilon^2$为常数）。
    根据夹逼准则，可得$\lim_{n \to +\infty} P\left(\left|\frac{X}{n}-p\right| >\varepsilon\right)=0$。