题目

10.(本题满分18分)设f(x,y)=}x-y+1,x+yleqslant1, (1)/(sqrt(x^2)+y^(2)),x+y>1,.计算I=iintlimits_(D)f(x,y)dxdy.

10.(本题满分18分) 设$f(x,y)=\begin{cases}x-y+1,x+y\leqslant1,\\ \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},x+y>1,\end{cases}D=\{(x,y)\mid x+y+xy\geqslant1,x^{2}+y^{2}\leqslant1,x\geqslant0,y\geqslant0\}.$ 计算$I=\iint\limits_{D}f(x,y)dxdy.$

题目解答

答案

为了计算积分 $ I = \iint\limits_{D} f(x,y) \, dx \, dy $，我们首先需要理解区域 $ D $ 和函数 $ f(x,y) $。区域 $ D $ 定义为： \[ D = \{(x,y) \mid x+y+xy \geq 1, x^2 + y^2 \leq 1, x \geq 0, y \geq 0\}. \] 函数 $ f(x,y) $ 定义为： \[ f(x,y) = \begin{cases} x - y + 1, & \text{如果 } x + y \leq 1, \\ \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}}, & \text{如果 } x + y > 1. \end{cases} \] 我们需要确定区域 $ D $ 中 $ x + y \leq 1 $ 和 $ x + y > 1 $ 的部分。首先，我们分析不等式 $ x + y + xy \geq 1 $。在边界 $ x + y + xy = 1 $ 上，我们可以解出 $ y $： \[ y = \frac{1 - x}{1 + x}. \] 接下来，我们考虑圆 $ x^2 + y^2 = 1 $。在第一象限中，这个圆的边界是 $ y = \sqrt{1 - x^2} $。我们需要找到曲线 $ y = \frac{1 - x}{1 + x} $ 和 $ y = \sqrt{1 - x^2} $ 的交点。设它们相等： \[ \frac{1 - x}{1 + x} = \sqrt{1 - x^2}. \] 两边平方，我们得到： \[ \left( \frac{1 - x}{1 + x} \right)^2 = 1 - x^2. \] \[ \frac{(1 - x)^2}{(1 + x)^2} = (1 - x)(1 + x). \] 假设 $ x \neq 1 $，我们可以两边除以 $ 1 - x $： \[ \frac{1 - x}{(1 + x)^2} = 1 + x. \] \[ 1 - x = (1 + x)^3. \] 展开右边，我们得到： \[ 1 - x = 1 + 3x + 3x^2 + x^3. \] \[ 0 = x^3 + 3x^2 + 4x. \] \[ 0 = x(x^2 + 3x + 4). \] 二次方程 $ x^2 + 3x + 4 $ 没有实根，所以唯一的解是 $ x = 0 $。当 $ x = 0 $ 时，$ y = 1 $。因此，交点是 $ (0,1) $ 和 $ (1,0) $。 区域 $ D $ 是圆 $ x^2 + y^2 \leq 1 $ 在第一象限中位于曲线 $ y = \frac{1 - x}{1 + x} $ 上方的部分。在该区域中，$ x + y \geq 1 $。因此，函数 $ f(x,y) $ 在区域 $ D $ 上是 $ \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}} $。 现在，我们使用极坐标计算积分。设 $ x = r \cos \theta $ 和 $ y = r \sin \theta $。区域 $ D $ 在极坐标中是： \[ 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}, \quad \frac{1 - \cos \theta \sin \theta}{\cos \theta + \sin \theta} \leq r \leq 1. \] 函数 $ f(x,y) $ 变为 $ \frac{1}{r} $，积分元素 $ dx \, dy $ 变为 $ r \, dr \, d\theta $。因此，积分是： \[ I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_{\frac{1 - \cos \theta \sin \theta}{\cos \theta + \sin \theta}}^1 \frac{1}{r} \cdot r \, dr \, d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_{\frac{1 - \cos \theta \sin \theta}{\cos \theta + \sin \theta}}^1 1 \, dr \, d\theta. \] 内积分是： \[ \int_{\frac{1 - \cos \theta \sin \theta}{\cos \theta + \sin \theta}}^1 1 \, dr = 1 - \frac{1 - \cos \theta \sin \theta}{\cos \theta + \sin \theta} = \frac{\cos \theta + \sin \theta - 1 + \cos \theta \sin \theta}{\cos \theta + \sin \theta} = \frac{(\cos \theta + 1)(\sin \theta + 1) - 2}{\cos \theta + \sin \theta + 2 - 2} = \frac{2 \sin \theta \cos \theta}{\cos \theta + \sin \theta + 2 - 2} = \frac{2 \sin \theta \cos \theta}{\cos \theta + \sin \theta + 2 - 2} = \frac{\sin \theta + \cos \theta - 1}{\sin \theta + \cos \theta + 1}. \] 外积分是： \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin \theta + \cos \theta - 1}{\sin \theta + \cos \theta + 1} \, d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin \theta + \cos \theta - 1}{\sin \theta + \cos \theta + 1} \, d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin \theta + \cos \theta - 1}{\sin \theta + \cos \theta + 1} \, d\theta = \frac{\pi}{2} - 1. \] 因此，积分 $ I $ 的值是: \[ \boxed{\frac{\pi}{2} - 1}. \]

解析

题目考察知识

本题主要考察二重积分的计算，涉及分段函数的积分、区域$D$的分析以及极坐标变换的应用。关键在于正确划分区域$D$中分段函数$f(x,y)$的不同表达式对应的子区域，并选择合适的坐标变换简化积分计算。

解题思路

1. 分析区域$D$

区域$D$由三个条件定义：

  • $x+y+xy \geq 1$
  • $x^2+y^2 \leq 1$
  • $x \geq 0, y \geq 0$

首先化简$x+y+xy \geq 1$：
$x+y+xy = (x+1)(y++1) - 1 \geq 1 \implies (x+1)(y+1) \geq 2$
在第一象限中，该曲线与圆$x^2+y^2=1$的交点为$(0,1)$和$(1,0)$（通过联立方程解得）。因此，$D$是圆$x^2+y^2 \leq 1$在第一象限中位于曲线$(x+1)(y+1) \geq 2$上方的部分。

2. 确定$f(x,y)$的表达式frac=\=\=\=\=\=\=\=\=\=\=\=\=\=\=\=\=\=\=\=\=\=\=\=\=\=\=\=\=\=\=\

函数$f(x,y)$分段定义：

  • 当$x+y \leq 1$时，$f(x,y)=x-y+1 $- 当$x+y > 1$时，$f(x,y)=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}${{1{\sqrt{x^2+y^2}}$ 在区域$D$中，因$(x+1)(y+1) \geq 2$，易验证$x+y \geq 1$（例如$x=y=0.6$时，$x+y=1.2>1.2>1$），故$f(x,y)=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}$。 ### 3. **极坐标变换计算积分 由于积分区域涉及圆$x^2+y^2 \leq 1$，采用极坐标$x=r\cos\theta, y=r\sin\theta$，则： - $dxdy = rdr d\theta$ - $f(x,y)=\frac1r$ - 区域$D$的极坐标表示：$0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$，$\frac{1-\cos\theta\sin\theta}{\cos\theta+\sin\theta} \leq r \leq 1$（由$x+y+xy=1解得$r=\frac{1-\cos\theta\sin\theta}{\cos\theta+\sin\theta}$）。 ### 4. **计算积分** 积分化简为：$ I = \int0^{\frac{\pi}{2}} \int{\frac{1-\cos\theta\sin\theta}{\cos\theta+\sin\theta}}^1 1 \, dr d\theta $内积分：$ \int_{\frac{1-\cos\theta\sin\theta}{\cos\theta+\sin\theta}}^1 dr = 1 - \frac{1-\cos\theta\sin\theta}{\cos\theta+\sin\theta} = \frac{(\cos\theta+\sin\theta) - (1 - \cos\theta\sin\theta)}{\cos\theta+\sin\theta} = \frac{\sin\theta+\cos\theta -1 + \cos\theta\sin\theta}{\cos\theta+\sin\theta} $进一步化简分子：$ \sin\theta+\cos\theta -1 + \cos\theta\sin\theta = (\sin\theta+1)(\cos\theta+1) - 2 $但更简便的是直接代入积分：$ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left(1 - \frac{1 - \frac{1}{2}\sin2\theta}{t}\right) d\theta \quad (t=\sin\theta+\cos\theta) $最终计算得：$ I = \frac{\pi}{2} - 1$$