6.设 A ，B ，C 为三事件，且 P （A ）=P （B ）=1/4，P（C ）=1/3 且 P （AB ）=P （BC ）=0，P （AC ）=1/12，求 A ，B ，C 至少有一事件发生的概率.

考查要点：本题主要考查三个事件的并集概率计算，需要运用容斥原理，并结合题目中给出的事件独立性条件进行分析。

解题核心思路：

1. 识别事件之间的独立性：题目中给出$P(AB)=0$和$P(BC)=0$，说明事件$A$与$B$、$B$与$C$互斥。
2. 处理交集概率：虽然$P(AC)=\frac{1}{12}$，但需注意$P(ABC)=0$（因$AB$本身概率为0）。
3. 应用容斥原理公式：通过公式展开并代入已知条件，最终简化计算。

破题关键点：

• 明确互斥关系：利用$P(AB)=0$和$P(BC)=0$简化公式中的交叉项。
• 忽略高阶交集：由于$AB$和$BC$概率为0，$ABC$的概率自然为0，无需额外计算。

根据容斥原理，三个事件并集的概率公式为：
$P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(BC) - P(AC) + P(ABC)$

代入已知条件：

• $P(A) = P(B) = \frac{1}{4}$，$P(C) = \frac{1}{3}$
• $P(AB) = P(BC) = 0$，$P(AC) = \frac{1}{12}$
• 关键推导：由于$P(AB) = 0$，事件$A$和$B$互斥，因此$P(ABC) = 0$（三事件同时发生的概率为0）。

计算过程：
$\begin{aligned}P(A \cup B \cup C) &= \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{3} - 0 - 0 - \frac{1}{12} + 0 \\&= \frac{3}{12} + \frac{3}{12} + \frac{4}{12} - \frac{1}{12} \\&= \frac{3 + 3 + 4 - 1}{12} \\&= \frac{9}{12} = \frac{3}{4}\end{aligned}$