【题目】-|||-(int )_(0)^4dfrac (1)(1+sqrt {x)}dx.

考查要点：本题主要考查定积分的计算，特别是通过换元法简化被积函数的能力，以及分式分解的技巧。

解题核心思路：

1. 换元法：通过令$t = \sqrt{x}$，将原积分中的根号消去，转化为关于$t$的积分，简化计算。
2. 分式分解：将被积函数拆分为更易积分的形式，利用代数变形将复杂分式转化为多项式与简单分式的组合。
3. 逐项积分：分别对拆分后的多项式和分式进行积分，最后代入上下限计算结果。

破题关键点：

• 变量替换的选择：选择$t = \sqrt{x}$，使积分上下限和被积函数同时简化。
• 分式拆分技巧：将$\frac{2t}{1+t}$拆分为$2\left(1 - \frac{1}{1+t}\right)$，使积分过程更直接。

步骤1：变量替换
令$t = \sqrt{x}$，则$x = t^2$，$dx = 2t \, dt$。
当$x = 0$时，$t = 0$；当$x = 4$时，$t = 2$。
原积分变为：
$\int_{0}^{4} \frac{1}{1+\sqrt{x}} \, dx = \int_{0}^{2} \frac{2t}{1+t} \, dt.$

步骤2：分式分解
将被积函数拆分：
$\frac{2t}{1+t} = 2 \left( \frac{1+t - 1}{1+t} \right) = 2 \left( 1 - \frac{1}{1+t} \right).$

步骤3：逐项积分
积分变为：
$2 \int_{0}^{2} \left( 1 - \frac{1}{1+t} \right) dt = 2 \left[ \int_{0}^{2} 1 \, dt - \int_{0}^{2} \frac{1}{1+t} \, dt \right].$

步骤4：计算积分

1. $\int_{0}^{2} 1 \, dt = t \Big|_{0}^{2} = 2 - 0 = 2$。
2. $\int_{0}^{2} \frac{1}{1+t} \, dt = \ln|1+t| \Big|_{0}^{2} = \ln3 - \ln1 = \ln3$。

步骤5：代入结果
最终结果为：
$2 \left[ 2 - \ln3 \right] = 4 - 2\ln3.$