z=1是函数f(z)=(tan(z-1))/(z-1)的(）。A. 极点;B. 本性奇点;C. 可去奇点;D. 一级零点;

考查要点：本题主要考查复变函数中奇点类型的判断，涉及泰勒级数展开和洛必达法则的应用。

解题核心思路：

1. 奇点分类标准：判断奇点类型的关键在于分析函数在该点的洛朗展开式中是否含有负次幂项。
   • 可去奇点：展开式中无负次幂项。
   • 极点：展开式中仅有有限个负次幂项。
   • 本性奇点：展开式中有无限个负次幂项。
2. 关键方法：
   • 将函数在奇点附近展开为泰勒级数，观察是否存在负次幂项。
   • 或通过计算极限判断奇点类型（如洛必达法则）。

破题关键点：

• 通过泰勒展开或极限分析，确认函数在 $z=1$ 处的奇点类型。

步骤1：泰勒展开法

1. 展开 $\tan(w)$：
   $\tan(w)$ 在 $w=0$ 处的泰勒展开式为：
   $\tan(w) = w + \frac{w^3}{3} + \frac{2w^5}{15} + \cdots$
2. 代入 $w = z-1$：
   函数 $f(z) = \frac{\tan(z-1)}{z-1}$ 可展开为：
   $f(z) = \frac{w + \frac{w^3}{3} + \frac{2w^5}{15} + \cdots}{w} = 1 + \frac{w^2}{3} + \frac{2w^4}{15} + \cdots$
   即：
   $f(z) = 1 + \frac{(z-1)^2}{3} + \frac{2(z-1)^4}{15} + \cdots$
3. 分析展开式：
   展开式中仅含非负次幂项，无负次幂项，说明 $z=1$ 是 可去奇点。

步骤2：极限法（洛必达法则）

1. 计算极限：
   $\lim_{z \to 1} f(z) = \lim_{z \to 1} \frac{\tan(z-1)}{z-1}$
   分子分母均趋近于0，应用洛必达法则：
   $\lim_{z \to 1} \frac{\sec^2(z-1)}{1} = \sec^2(0) = 1$
2. 结论：
   极限存在且有限，说明 $z=1$ 是 可去奇点。