题目
将3个球随机放入4个杯子中,下列结果中正确的是() A. 杯子中最多球数为1的概率为 (3)/(8)B. 杯子中最多球数为2的概率为 (1)/(16)C. 杯子中最多球数为3的概率为 (9)/(16)D. 放球过程的所有可能结果数为16
将3个球随机放入4个杯子中,下列结果中正确的是()
- A. 杯子中最多球数为1的概率为 $\frac{3}{8}$
- B. 杯子中最多球数为2的概率为 $\frac{1}{16}$
- C. 杯子中最多球数为3的概率为 $\frac{9}{16}$
- D. 放球过程的所有可能结果数为16
题目解答
答案
将3个球随机放入4个杯子中，总可能结果数为 $4^3 = 64$。
**选项分析：**
- **A：** 最多球数为1，即每个杯子最多1个球。选择3个杯子并排列球的方式有 $ \binom{4}{3} \times 3! = 24 $ 种，概率为 $ \frac{24}{64} = \frac{3}{8} $，正确。
- **B：** 最多球数为2，即一个杯子2个球，另一个1个球。方式数为 $ \binom{4}{1} \times \binom{3}{2} \times 3 = 36 $，概率为 $ \frac{9}{16} $，错误。
- **C：** 最多球数为3，即一个杯子3个球。方式数为 $ \binom{4}{1} = 4 $，概率为 $ \frac{1}{16} $，错误。
- **D：** 总结果数为64，错误。
**答案：** $\boxed{A}$
解析
步骤 1：计算总可能结果数
将3个球随机放入4个杯子中，每个球有4种选择，因此总可能结果数为 $4^3 = 64$。
步骤 2：计算杯子中最多球数为1的概率
杯子中最多球数为1，即每个杯子最多1个球。选择3个杯子并排列球的方式有 $ \binom{4}{3} \times 3! = 24 $ 种，概率为 $ \frac{24}{64} = \frac{3}{8} $。
步骤 3：计算杯子中最多球数为2的概率
杯子中最多球数为2，即一个杯子2个球，另一个1个球。方式数为 $ \binom{4}{1} \times \binom{3}{2} \times 3 = 36 $，概率为 $ \frac{36}{64} = \frac{9}{16} $。
步骤 4：计算杯子中最多球数为3的概率
杯子中最多球数为3，即一个杯子3个球。方式数为 $ \binom{4}{1} = 4 $，概率为 $ \frac{4}{64} = \frac{1}{16} $。
步骤 5：验证放球过程的所有可能结果数
放球过程的所有可能结果数为 $4^3 = 64$，不是16。
将3个球随机放入4个杯子中，每个球有4种选择，因此总可能结果数为 $4^3 = 64$。
步骤 2：计算杯子中最多球数为1的概率
杯子中最多球数为1，即每个杯子最多1个球。选择3个杯子并排列球的方式有 $ \binom{4}{3} \times 3! = 24 $ 种，概率为 $ \frac{24}{64} = \frac{3}{8} $。
步骤 3：计算杯子中最多球数为2的概率
杯子中最多球数为2，即一个杯子2个球，另一个1个球。方式数为 $ \binom{4}{1} \times \binom{3}{2} \times 3 = 36 $，概率为 $ \frac{36}{64} = \frac{9}{16} $。
步骤 4：计算杯子中最多球数为3的概率
杯子中最多球数为3，即一个杯子3个球。方式数为 $ \binom{4}{1} = 4 $，概率为 $ \frac{4}{64} = \frac{1}{16} $。
步骤 5：验证放球过程的所有可能结果数
放球过程的所有可能结果数为 $4^3 = 64$，不是16。