注水入深8m、上顶直径8m的正圆锥形容器中,其速率为(m)^3/min.当水深为5m时,其表面上升的速率为多少?

考查要点：本题主要考查相关变化率的应用，涉及圆锥体积公式和相似三角形的比例关系。

解题核心思路：

1. 建立水深h与水面半径r的比例关系：利用容器的几何形状（正圆锥），通过相似三角形确定r与h的关系。
2. 表达体积V与h的关系：将圆锥体积公式代入r与h的关系，得到V仅关于h的函数。
3. 对时间求导：通过链式法则对体积公式求导，建立dV/dt与dh/dt的关系式，代入已知条件求解。

破题关键点：

• 相似性比例：容器高度与底面半径的比例决定了水位高度h与水面半径r的比例。
• 正确求导：对体积公式求导时，注意变量h是时间的函数，需应用链式法则。

步骤1：确定相似比例关系

容器为正圆锥，高度$H=8\ \text{m}$，底面半径$R=4\ \text{m}$（因直径$8\ \text{m}$）。
当水深为$h$时，水面形成的小圆锥与容器相似，故比例关系为：
$\frac{r}{h} = \frac{R}{H} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad r = \frac{h}{2}.$

步骤2：表达体积与h的关系

水的体积$V$为小圆锥体积：
$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi \left( \frac{h}{2} \right)^2 h = \frac{\pi}{12} h^3.$

步骤3：对时间求导

对体积公式两边关于时间$t$求导：
$\frac{dV}{dt} = \frac{\pi}{12} \cdot 3h^2 \cdot \frac{dh}{dt} = \frac{\pi h^2}{4} \cdot \frac{dh}{dt}.$

步骤4：代入已知条件求解

已知$\frac{dV}{dt} = 4\ \text{m}^3/\text{min}$，当$h=5\ \text{m}$时，解得：
$\frac{dh}{dt} = \frac{4}{\pi h^2} \cdot \frac{dV}{dt} = \frac{4 \times 4}{\pi \times 5^2} = \frac{16}{25\pi} \approx 0.204\ \text{m/min}.$