(此题总分值9分)设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表,其中女生的报名表分别为3份、7份和5份.随机地取一个地区的报名表,从中先后抽出两份.(1) 求先抽到的一份是女生表的概率;(2) 已知后抽到的一份是男生表,求先抽到的一份是女生表的概率.

考查要点：本题主要考查全概率公式和贝叶斯公式的应用，涉及条件概率的计算。

解题思路：

1. 第一问：由于随机选取一个地区，再从中抽取报名表，需用全概率公式，将三个地区的概率加权求和。
2. 第二问：已知第二次抽到男生，求第一次抽到女生的概率，需用贝叶斯公式，结合全概率公式计算联合概率。

关键点：

• 全概率公式：将问题分解为不同地区的子事件，分别计算后加权求和。
• 贝叶斯公式：通过条件概率的逆推，需计算分子（联合概率）和分母（后验概率）。

第（1）题

1. 确定各地区女生概率：

   • 地区1：女生3人，总10人，概率为$\dfrac{3}{10}$；
   • 地区2：女生7人，总15人，概率为$\dfrac{7}{15}$；
   • 地区3：女生5人，总25人，概率为$\dfrac{5}{25} = \dfrac{1}{5}$。

2. 应用全概率公式：
   $P(B_1) = \dfrac{1}{3} \left( \dfrac{3}{10} + \dfrac{7}{15} + \dfrac{1}{5} \right) = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{29}{30} = \dfrac{29}{90}.$

第（2）题

1. 计算联合概率$P(B_1 \cap \overline{B_2})$：

   • 地区1：$\dfrac{3}{10} \cdot \dfrac{7}{9} = \dfrac{7}{30}$；
   • 地区2：$\dfrac{7}{15} \cdot \dfrac{8}{14} = \dfrac{4}{15}$；
   • 地区3：$\dfrac{5}{25} \cdot \dfrac{20}{24} = \dfrac{1}{6}$；
   • 总概率：$\dfrac{1}{3} \left( \dfrac{7}{30} + \dfrac{4}{15} + \dfrac{1}{6} \right) = \dfrac{20}{270} = \dfrac{2}{27}$。

2. 计算$P(\overline{B_2})$：

   • 由“抽签原理”，$P(\overline{B_2}) = P(\overline{B_1}) = 1 - \dfrac{29}{90} = \dfrac{61}{90}$。

3. 应用贝叶斯公式：
   $P(B_1 \mid \overline{B_2}) = \dfrac{P(B_1 \cap \overline{B_2})}{P(\overline{B_2})} = \dfrac{\dfrac{2}{27}}{\dfrac{61}{90}} = \dfrac{20}{61}.$