题目
求线性方程组 } x_1 + x_2 + x_3 = 1, x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 3 的通解。
求线性方程组 $\begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 = 1, \\ x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 3 \end{cases}$ 的通解。
题目解答
答案
将方程组
\[
\begin{cases}
x_1 + x_2 + x_3 = 1, \\
x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 3
\end{cases}
\]
通过消元法简化。从第二个方程中减去第一个方程，得
\[
x_2 + 2x_3 = 2.
\]
由第一个方程得
\[
x_1 = 1 - x_2 - x_3.
\]
将 $x_2 = 2 - 2x_3$ 代入，得
\[
x_1 = 1 - (2 - 2x_3) - x_3 = -1 + x_3.
\]
设 $x_3 = t$（自由变量），则
\[
\begin{cases}
x_1 = -1 + t, \\
x_2 = 2 - 2t, \\
x_3 = t.
\end{cases}
\]
或向量形式
\[
\boxed{
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-1 \\
2 \\
0
\end{pmatrix}
+
t
\begin{pmatrix}
1 \\
-2 \\
1
\end{pmatrix},
\text{其中 } t \text{ 为任意实数。}
}
\]
解析
本题考查线性方程组通解的求解，解题思路是先通过消元法简化方程组，然后用一个变量表示其他变量，最后引入自由变量得到通解。
- 消元简化方程组：
已知方程组$\begin{cases}x_1 + x_2 + x_3 = 1&(1)\\x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 3&(2)\end{cases}$
用方程$(2)$减去方程$(1)$，即$(x_1 + 2x_2 + 3x_3)-(x_1 + x_2 + x_3)=3 - 1$，去括号得$x_1 + 2x_2 + 3x_3 - x_1 - x_2 - x_3 = 2$，合并同类项可得$x_2 + 2x_3 = 2$。 - 用$x_3$表示$x_2$：
由$x_2 + 2x_3 = 2$，移项可得$x_2 = 2 - 2x_3$。 - 用$x_3$表示$x_1$：
由方程$(1)$可得$x_1 = 1 - x_2 - x_3$，将$x_2 = 2 - 2x_3$代入上式，得到$x_1 = 1-(2 - 2x_3)-x_3$，去括号得$x_1 = 1 - 2 + 2x_3 - x_3$，合并同类项可得$x_1 = -1 + x_3$。 - 引入自由变量求通解：
设$x_3 = t$（$t$为任意实数，作为自由变量），则$\begin{cases}x_1 = -1 + t\\x_2 = 2 - 2t\\x_3 = t\end{cases}$。
写成向量形式为$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}$，其中$t$为任意实数。