(1)函数 (x)=dfrac (x-{x)^3}(sin pi x) 的可去间断点的个数为 ()-|||-(A)1 (B) 2 (C)3 (D) 无穷多个

考查要点：本题主要考查函数间断点的分类，特别是可去间断点的判断。需要掌握可去间断点的定义（左右极限存在且相等，但函数值不存在或不等于极限值），以及极限的计算方法。

解题核心思路：

1. 确定间断点位置：分母$\sin \pi x = 0$时，函数无定义，即$x = k$（$k$为整数）。
2. 筛选可能的可去间断点：当分子$x - x^3$在$x = k$处也为0时，可能存在极限，需进一步计算。
3. 计算极限：对满足条件的$k$，通过泰勒展开或洛必达法则计算极限，判断是否存在有限值。

破题关键：

• 分子为0的条件：$x - x^3 = 0 \Rightarrow x = 0, \pm 1$，即只有$x = 0, 1, -1$可能为可去间断点。
• 极限计算技巧：利用等价无穷小替换或展开式简化计算。

确定间断点位置

函数$f(x) = \dfrac{x - x^3}{\sin \pi x}$的分母$\sin \pi x = 0$时，函数无定义，解得：
$x = k \quad (k \in \mathbb{Z})$

筛选可能的可去间断点

当$x = k$时，若分子$x - x^3 = 0$，则可能存在极限。解方程：
$x - x^3 = x(1 - x^2) = 0 \Rightarrow x = 0, \pm 1$
因此，可能的可去间断点为$x = 0, 1, -1$。

计算各点的极限

当$x = 0$时

当$x \to 0$，$\sin \pi x \approx \pi x$，分子$x - x^3 \approx x$，故：
$\lim_{x \to 0} \frac{x - x^3}{\sin \pi x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{\pi x} = \frac{1}{\pi}$
极限存在且有限，$x = 0$是可去间断点。

当$x = 1$时

当$x \to 1$，令$t = x - 1$，则$t \to 0$，$\sin \pi x = \sin(\pi + \pi t) = -\sin \pi t \approx -\pi t$，分子：
$x - x^3 = 1 + t - (1 + t)^3 = -2t - 3t^2$
故：
$\lim_{x \to 1} \frac{x - x^3}{\sin \pi x} = \lim_{t \to 0} \frac{-2t}{-\pi t} = \frac{2}{\pi}$
极限存在且有限，$x = 1$是可去间断点。

当$x = -1$时

当$x \to -1$，令$t = x + 1$，则$t \to 0$，$\sin \pi x = \sin(-\pi + \pi t) = -\sin \pi t \approx -\pi t$，分子：
$x - x^3 = -1 + t - (-1 + t)^3 = 2t - 3t^2$
故：
$\lim_{x \to -1} \frac{x - x^3}{\sin \pi x} = \lim_{t \to 0} \frac{2t}{-\pi t} = \frac{2}{\pi}$
极限存在且有限，$x = -1$是可去间断点。

其他整数点

对于$k \neq 0, \pm 1$，分子$x - x^3 \neq 0$，分母$\sin \pi x = 0$，此时极限趋向无穷，属于无穷间断点，非可去间断点。