2、设函数 f(x)= ) a(e)^x+1,xleqslant 0 x+b, xgt 0 . x=0 可导,则a,b应该取何值?

考查要点：本题主要考查分段函数在分界点处的可导性条件，需要同时满足连续性和左右导数相等两个条件。

解题核心思路：

1. 连续性条件：函数在$x=0$处连续，即左极限等于右极限且等于函数值$f(0)$。
2. 可导性条件：函数在$x=0$处的左导数等于右导数。

破题关键点：

• 连续性方程：通过左右极限相等建立$a$与$b$的关系。
• 导数方程：分别求左右导数并令其相等，直接得到$a$的值。

步骤1：验证连续性

当$x \leqslant 0$时，$f(x) = a e^x + 1$，当$x > 0$时，$f(x) = x + b$。
连续性条件要求：
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$

• 左极限：$\lim_{x \to 0^-} (a e^x + 1) = a e^0 + 1 = a + 1$
• 右极限：$\lim_{x \to 0^+} (x + b) = 0 + b = b$
• 函数值：$f(0) = a e^0 + 1 = a + 1$

因此，连续性条件给出方程：
$a + 1 = b \quad \text{(方程1)}$

步骤2：求左右导数并令其相等

左导数（$x \to 0^-$）：
$f(x) = a e^x + 1$的导数为$f'(x) = a e^x$，因此左导数为：
$f'_-(0) = a e^0 = a$

右导数（$x \to 0^+$）：
$f(x) = x + b$的导数为$f'(x) = 1$，因此右导数为：
$f'_+(0) = 1$

可导性条件要求：
$f'_-(0) = f'_+(0) \implies a = 1 \quad \text{(方程2)}$

步骤3：联立方程求解

将$a = 1$代入方程1：
$1 + 1 = b \implies b = 2$