题目

写出函数(x)=dfrac (|x|)(x)绝对值去掉后的形式。

写出函数 $f\left(x\right)=\frac{\left|x\right|}{x}$ 绝对值去掉后的形式。

题目解答

我们可以通过以下步骤求解：

当 $x>0$ 或 $x=0$ 时，我们有 $|x|=x$ ，所以 $f(x)=\frac{x}{x}=1$ 。

当 $x<0$ 时，我们有 $|x|=-x$ ，所以 $f(x)=-\frac{x}{x}=-1$ 。

所以，函数 $f(x)=\frac{|x|}{x}$ 去掉绝对值后的形式为：

$f(x)=\left \{ ^{1,x\ge 0}_{-1,x\le0} \right.$

所以本题的答案为 $f(x)=\left \{ ^{1,x\ge 0}_{-1,x\le0} \right.$ 。

考查要点：本题主要考查绝对值函数的分段处理能力，需要根据自变量$x$的正负情况，去掉绝对值符号，将函数表达式转化为分段形式。

解题核心思路：绝对值函数$|x|$的性质是关键。当$x \geq 0$时，$|x|=x$；当$x < 0$时，$|x|=-x$。结合分母$x$的存在，需注意$x \neq 0$，因此需分$x > 0$和$x < 0$两种情况讨论。

破题关键点：

函数$f(x)=\dfrac{|x|}{x}$的定义域为$x \neq 0$。根据$x$的正负分两种情况：

当$x > 0$时

此时$|x|=x$，代入原式得：
$f(x)=\dfrac{x}{x}=1.$

当$x < 0$时

此时$|x|=-x$，代入原式得：
$f(x)=\dfrac{-x}{x}=-1.$

注意：当$x=0$时，分母为零，函数无定义，因此无需包含$x=0$的情况。