题目
半径为a、高为h的圆柱体对于过其中心并且平行于母线的轴的转动惯量为(）（假设密度rho=1）A. (1)/(2)pi a^4 hB. (1)/(5)pi a^3 hC. (3)/(4)a^4 hD. 2pi a^2 h
半径为a、高为h的圆柱体对于过其中心并且平行于母线的轴的转动惯量为(）（假设密度$\rho=1$）
A. $\frac{1}{2}\pi a^4 h$
B. $\frac{1}{5}\pi a^3 h$
C. $\frac{3}{4}a^4 h$
D. $2\pi a^2 h$
题目解答
答案
A. $\frac{1}{2}\pi a^4 h$
解析
步骤 1：确定圆柱体的体积元素
将圆柱体视为由无数个薄圆盘组成，每个薄圆盘的半径为 $a$，厚度为 $dz$。每个薄圆盘的体积元素为 $dV = \pi a^2 dz$。
步骤 2：计算薄圆盘的转动惯量
每个薄圆盘的转动惯量 $dI$ 为： \[ dI = \frac{1}{2} dm a^2 \] 其中 $dm = \rho dV = \pi a^2 dz$（密度 $\rho = 1$）。
步骤 3：积分整个圆柱体的转动惯量
积分整个圆柱体的转动惯量： \[ I = \int_{-h/2}^{h/2} \frac{1}{2} \pi a^4 dz = \frac{1}{2} \pi a^4 h \]
将圆柱体视为由无数个薄圆盘组成，每个薄圆盘的半径为 $a$，厚度为 $dz$。每个薄圆盘的体积元素为 $dV = \pi a^2 dz$。
步骤 2：计算薄圆盘的转动惯量
每个薄圆盘的转动惯量 $dI$ 为： \[ dI = \frac{1}{2} dm a^2 \] 其中 $dm = \rho dV = \pi a^2 dz$（密度 $\rho = 1$）。
步骤 3：积分整个圆柱体的转动惯量
积分整个圆柱体的转动惯量： \[ I = \int_{-h/2}^{h/2} \frac{1}{2} \pi a^4 dz = \frac{1}{2} \pi a^4 h \]