积分上限函数 Phi(x) = int_(a)^e^x (ln t)/(t) dt，则 Phi'(x) 的值为（ ）。A. xB. (x)/(e^x)C. -xD. -(x)/(e^x)

本题考查积分上限函数的求导法则。解题思路是先明确积分上限函数求导的基本公式，对于变上限积分$\int_{a}^{\varphi(x)}f(t)dt$，其导数为$f(\varphi(x))\cdot\varphi^\prime(x)$。然后在本题中确定$f(t)$、$\varphi(x)$，分别求出$f(\varphi(x))$与$\varphi^\prime(x)$，最后代入公式计算$\Phi^\prime(x)$。

1. 首先，设$u = e^x$，则原积分上限函数$\Phi(x)=\int_{a}^{e^x}\frac{\ln t}{t}dt$可写成$\Phi(x)=\int_{a}^{u}\frac{\ln t}{t}dt$。
2. 根据复合函数求导法则以及积分上限函数求导公式$\frac{d}{dx}\int_{a}^{u}f(t)dt = f(u)\cdot\frac{du}{dx}$，这里$f(t)=\frac{\ln t}{t}$，所以$\Phi^\prime(x)=\frac{d}{dx}\left(\int_{a}^{u}\frac{\ln t}{t}dt\right)=\frac{\ln u}{u}\cdot\frac{du}{dx}$。
3. 接着求$\frac{du}{dx}$，因为$u = e^x$，根据指数函数求导公式$(e^x)^\prime=e^x$，可得$\frac{du}{dx}=e^x$。
4. 最后将$u = e^x$和$\frac{du}{dx}=e^x$代入$\Phi^\prime(x)=\frac{\ln u}{u}\cdot\frac{du}{dx}$中：
   • 因为$\ln(e^x)=x$，所以$\Phi^\prime(x)=\frac{\ln(e^x)}{e^x}\cdot e^x$。
   • 化简$\frac{\ln(e^x)}{e^x}\cdot e^x$，$e^x$约掉，得到$\Phi^\prime(x)=x$。