题目

52.（单选题，1.7分） 方程组}x_(1)+2x_(2)+3x_(3)=03x_(1)+6x_(2)+10x_(3)=02x_(1)+5x_(2)+7x_(3)=0x_(1)+2x_(2)+4x_(3)=0的解的情形是（） A. 无解， B. 有唯一解， C. 基础解系中有一个向量 D. 基础解系中有两个向量

52.（单选题，1.7分） 方程组$\begin{cases}x_{1}+2x_{2}+3x_{3}=0\\3x_{1}+6x_{2}+10x_{3}=0\\2x_{1}+5x_{2}+7x_{3}=0\\x_{1}+2x_{2}+4x_{3}=0\end{cases}$的解的情形是（）
A. 无解，
B. 有唯一解，
C. 基础解系中有一个向量
D. 基础解系中有两个向量

题目解答

答案

为了确定方程组$\begin{cases}x_{1}+2x_{2}+3x_{3}=0\\3x_{1}+6x_{2}+10x_{3}=0\\2x_{1}+5x_{2}+7x_{3}=0\\x_{1}+2x_{2}+4x_{3}=0\end{cases}$的解的情形，我们需要分析该方程组的增广矩阵并将其化简为行阶梯形或行最简形。 首先，写出方程组的系数矩阵： \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 6 & 10 \\ 2 & 5 & 7 \\ 1 & 2 & 4 \end{pmatrix} \] 由于方程组是齐次的，增广矩阵与系数矩阵相同。我们对矩阵 $A$ 进行初等行变换。 1. 将第1行乘以-3加到第2行： \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \\ 2 & 5 & 7 \\ 1 & 2 & 4 \end{pmatrix} \] 2. 将第1行乘以-2加到第3行： \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 \end{pmatrix} \] 3. 将第1行乘以-1加到第4行： \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \] 4. 将第2行乘以-1加到第4行： \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \] 5. 交换第2行和第3行： \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \] 6. 将第3行乘以-1加到第2行： \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \] 7. 将第3行乘以-3加到第1行： \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \] 8. 将第2行乘以-2加到第1行： \[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \] 矩阵化简为行最简形，我们看到矩阵的秩为3。由于矩阵的秩等于未知数的个数，方程组有唯一解，即零解。 因此，方程组的解的情形是 B 有唯一解。 答案是 $\boxed{B}$。

解析

考查要点：本题主要考查齐次线性方程组解的判定，涉及矩阵的秩与基础解系的关系。

解题核心思路：

  1. 齐次方程组的解空间性质：当系数矩阵的秩$r$等于未知数个数$n$时，方程组仅有零解（唯一解）；当$r < n$时，基础解系中包含$n - r$个向量。
  2. 关键步骤：通过初等行变换将系数矩阵化为行阶梯形，确定其秩$r$，再根据$r$与$n$的关系判断解的情形。

破题关键点：

  • 正确进行行变换，确保矩阵化简无误。
  • 准确判断秩，结合$n = 3$分析解的结构。

步骤1：写出系数矩阵
方程组的系数矩阵为：
$A = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\3 & 6 & 10 \\2 & 5 & 7 \\1 & 2 & 4\end{pmatrix}$

步骤2：初等行变换化简矩阵

  1. 消去第2行、第3行、第4行的$x_1$项：

    • $R2 = R2 - 3R1 \Rightarrow R2 = [0, 0, 1]$
    • $R3 = R3 - 2R1 \Rightarrow R3 = [0, 1, 1]$
    • $R4 = R4 - R1 \Rightarrow R4 = [0, 0, 1]$
      矩阵变为：
      $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

  2. 交换第2行与第3行，使首非零元按列递增：
    $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

  3. 消去第4行的$x_3$项：

    • $R4 = R4 - R3 \Rightarrow R4 = [0, 0, 0]$
      矩阵变为：
      $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

  4. 进一步化简为行最简形：

    • $R2 = R2 - R3 \Rightarrow R2 = [0, 1, 0]$
    • $R1 = R1 - 3R3 \Rightarrow R1 = [1, 2, 0]$
    • $R1 = R1 - 2R2 \Rightarrow R1 = [1, 0, 0]$
      最终矩阵为：
      $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

步骤3：分析秩与解的情形

  • 矩阵的秩$r = 3$，未知数个数$n = 3$。
  • $r = n$，说明方程组仅有零解，即有唯一解。