题目

1.设f(x)具有二阶连续导数,且 '(0)=0, lim _(xarrow 0)dfrac ({f)^n(x)}(|x|)=1, 则 () .-|||-(A)f(0)是f(x)的极大值-|||-(B)f(0)是f(x)的极小值-|||-(C)(0,f(0))是曲线 y=f(x) 的拐点-|||-(D)f(0)不是f(x)的极值,(0,f(0))也不是曲线 y=f(x) 的拐点

1. $\begin{aligned} &\text{设 }f(x)\text{具有二阶连续导数,且 }f^{\prime}(0)=0,\operatorname*{lim}_{x\to0}\frac{f^{\prime\prime}(x)}{\mid x\mid}=1,\text{则(}\quad). \\ &\text{(A) f(0)是 f(x)的极大值} \\ &\text{(B) f(0)是f(x)的极小值} \\ &\text{} (C)(0,f(0))是曲线y=f(x)\text{的拐点} \\ &(D) f(0)不是 f(x)的极值,(0, f(0))也不是曲线 y=f(x)\text{的拐点} \end{aligned}$

题目解答

答案

解：

$\begin{aligned} &\text{首先,由 f'(0)=0可知,x=0为 f(x)} \\ &\text{的一个驻点,为判断其是否为极值点,仅需} \\ &\text{判断 }f^{\prime\prime}(x)\text{ 的符号 }. \\ &\text{因为}\begin{array}{c}{lim}\\{x\to0}\end{array}\frac{f^{\prime\prime}(x)}{|x|}=1,\text{由等价无穷小的概念可知,} \\ &\operatorname*{lim}_{x\to0}f^{\prime\prime}(x)=0. \\ &因为 f(x)\text{ 具有二阶连续导数,且} \\ &\lim_{x\to0}\frac{f^{r}(x)}{|x|}=1>0,\text{由极限的保号性,存在}\delta>0, \\ &\text{对于任意}0<|x|<\delta,都有\frac{f^{\prime}(x)}{|x|}>0,\text{从而有}f^{\prime} \\ &\left(\begin{array}{c}x\end{array}\right)>0. \\ &\text{从而,对于任意}x\in[\text{-}\delta,\delta],\text{都有 }f^{\prime\prime}(x)\geq0.\text{ ,由} \\ &\text{函数极值的判定定理可知,f(0)是极小值. 故} \\ &(B)\text{正确,排除}(A),(D). \\ &由于 f''(x)\geq0\text{,故由拐点的定义可知,(0,}f(0)) \\ &\text{不是 }y=f(x)\text{ 的拐点,排除}(C). \\ &\text{正确答案为(B).} \end{aligned}$