题目

1.设f(x)具有二阶连续导数,且 '(0)=0, lim _(xarrow 0)dfrac ({f)^n(x)}(|x|)=1, 则 () .-|||-(A)f(0)是f(x)的极大值-|||-(B)f(0)是f(x)的极小值-|||-(C)(0,f(0))是曲线 y=f(x) 的拐点-|||-(D)f(0)不是f(x)的极值,(0,f(0))也不是曲线 y=f(x) 的拐点

1.

题目解答

答案

解：

0,\text{由极限的保号性,存在}\delta>0, \\ &\text{对于任意}0<|x|<\delta,都有\frac{f^{\prime}(x)}{|x|}>0,\text{从而有}f^{\prime} \\ &\left(\begin{array}{c}x\end{array}\right)>0. \\ &\text{从而,对于任意}x\in[\text{-}\delta,\delta],\text{都有 }f^{\prime\prime}(x)\geq0.\text{ ,由} \\ &\text{函数极值的判定定理可知,f(0)是极小值. 故} \\ &(B)\text{正确,排除}(A),(D). \\ &由于 f''(x)\geq0\text{,故由拐点的定义可知,(0,}f(0)) \\ &\text{不是 }y=f(x)\text{ 的拐点,排除}(C). \\ &\text{正确答案为(B).} \end{aligned}" data-width="416" data-height="555" data-size="71688" data-format="png" style="max-width:100%">

解析

考查要点：本题主要考查极限的保号性、导数的符号判断、极值的判定定理以及拐点的定义。
解题核心思路：

  1. 利用极限的保号性确定$f'(x)$在$x=0$附近的符号；
  2. 结合二阶导数$f''(x)\geq0$，分析$f(0)$是否为极值点；
  3. 根据拐点的定义排除无关选项。
    破题关键：
  • 极限的保号性保证$f'(x)$在$x=0$附近保持正负号；
  • 二阶导数非负说明函数在该区间上凸，结合导数符号变化判断极值；
  • 拐点需二阶导数变号，而$f''(x)\geq0$不满足，故排除拐点。

步骤1：分析$f'(x)$的符号

已知$\lim_{x \to 0} \frac{f'(x)}{|x|} = 0$，由极限的保号性，存在$\delta>0$，当$0<|x|<\delta$时，$\frac{f'(x)}{|x|} > -1$（取正值）。
由于$|x|>0$，可得$f'(x) > -|x|$。但极限为$0$且右侧为正值，进一步可推得$f'(x) > 0$在$x \in (-\delta, \delta)$内成立。

步骤2：分析$f''(x)$的性质

题目隐含条件$f''(x) \geq 0$，说明函数$f(x)$在区间$[-\delta, \delta]$上上凸（或保持上凸性）。

步骤3：判断极值

  • 当$x$从左侧趋近$0$时，$f'(x) > 0$；
  • 当$x$从右侧趋近$0$时，$f'(x) > 0$。
    导数在$x=0$处由正变正，但因$f''(0) \geq 0$，结合极值判定定理，$f(0)$是极小值（二阶导数非负且导数符号未改变）。

步骤4：排除拐点

拐点要求二阶导数变号，但$f''(x) \geq 0$始终成立，故$(0, f(0))$不是拐点。