5.(2011)讨论函数 f(x)= ^2) xneq 0 0 x=0 . 在 x=0 处的可导性

本题考察分段函数在分段点处的可导性，关键是利用导数的定义判断极限是否存在。

步骤1：回顾导数定义

函数$f(x)$在$x=0$处的导数定义为：
$f'(0)=\lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}$
已知$f(0)=0$，且$x \neq 0$时$f(x)=x^3\sin\frac{1}{x^2}$，代入得：
$f'(0)=\lim_{x \to 0} \frac{x^3\sin\frac{1}{x^2}-0}{x}=\lim_{x \to 0} x^2\sin\frac{1}{x^2}$

步骤2：分析极限存在性

需判断$\lim_{x \to 0} x^2\sin\frac{1}{x^2}$是否存在。
根据三角函数性质，$\sin\theta$的值域为$[-1,1]$，故：
$-x^2 \leq x^2\sin\frac{1}{x^2} \leq x^2$
当$x \to 0$时，$-x^2 \to 0$且$x^2 \to 0$，由夹逼准则：
$\lim_{x \to 0} x^2\sin\frac{1}{x^2}=0$

结论

极限存在，故$f(x)$在$x=0$处可导，且$f'(0)=0$。