4、极限lim_(xto1)(x+x^2+...+x^n-n)/(x-1)=( ).A. 0B. ∞C. nD. (n(n+1))/(2)

考查要点：本题主要考查极限的计算方法，特别是洛必达法则的应用，以及等比数列求和公式的灵活运用。

解题核心思路：
当$x \to 1$时，分子和分母均趋近于$0$，形成$\frac{0}{0}$型不定式。此时可优先考虑洛必达法则，对分子和分母分别求导后取极限。此外，也可通过分子变形（如将分子拆分为多个$(x^k -1)$项）并提取公因子$(x-1)$，从而简化计算。

破题关键点：

1. 识别极限形式为$\frac{0}{0}$型，确定使用洛必达法则的可行性。
2. 对分子求导时，注意逐项求导的正确性。
3. 最终结果与等差数列求和公式相关，需熟练掌握$1+2+\cdots+n = \frac{n(n+1)}{2}$。

步骤1：验证极限形式
当$x \to 1$时，分子$x + x^2 + \cdots + x^n - n$中，每一项$x^k$均趋近于$1$，因此分子趋近于$0$；分母$x-1$也趋近于$0$，故极限形式为$\frac{0}{0}$型，可应用洛必达法则。

步骤2：应用洛必达法则
对分子和分母分别求导：

• 分子导数：$\frac{d}{dx}(x + x^2 + \cdots + x^n - n) = 1 + 2x + 3x^2 + \cdots + n x^{n-1}$
• 分母导数：$\frac{d}{dx}(x-1) = 1$

因此，原极限转化为：
$\lim_{x \to 1} \frac{1 + 2x + 3x^2 + \cdots + n x^{n-1}}{1}$

步骤3：代入$x=1$计算
将$x=1$代入分子导数：
$1 + 2 \cdot 1 + 3 \cdot 1^2 + \cdots + n \cdot 1^{n-1} = 1 + 2 + 3 + \cdots + n$

步骤4：求和公式
利用等差数列求和公式：
$1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}$