原式为：lim _(xarrow 0)(dfrac (1)({e)^x-1}-dfrac (1)(ln (1+x)))= )=

考查要点：本题主要考查极限的计算方法，特别是涉及等价无穷小替换、洛必达法则的应用，以及分式通分后的化简技巧。

解题核心思路：

1. 通分：将两个分式合并为一个分式，便于后续处理。
2. 等价无穷小替换：利用$x \to 0$时$\ln(1+x) \sim x$和$e^x -1 \sim x$，简化分母。
3. 洛必达法则：对分子和分母分别求导两次，消除不定型，最终求得极限值。

破题关键点：

• 识别不定型：通分后分子分母均为$x^2$阶无穷小，需进一步化简。
• 两次洛必达法则：第一次求导后仍为$\frac{0}{0}$型，需再次应用法则。

原式：
$\lim _{x\rightarrow 0}\left(\dfrac {1}{{e}^{x}-1}-\dfrac {1}{\ln (1+x)}\right)$

步骤1：通分
将两个分式通分，得到：
$\lim _{x\rightarrow 0} \dfrac{\ln(1+x) - (e^x -1)}{(e^x -1)\ln(1+x)}$

步骤2：等价无穷小替换
当$x \to 0$时，$\ln(1+x) \sim x$，$e^x -1 \sim x$，因此分母可近似为$x \cdot x = x^2$，原式化简为：
$\lim _{x\rightarrow 0} \dfrac{\ln(1+x) - (e^x -1)}{x^2}$

步骤3：泰勒展开（或两次洛必达法则）
方法一（泰勒展开）：
展开分子到二次项：
$\ln(1+x) = x - \dfrac{x^2}{2} + o(x^2), \quad e^x -1 = x + \dfrac{x^2}{2} + o(x^2)$
分子为：
$\ln(1+x) - (e^x -1) = \left(x - \dfrac{x^2}{2}\right) - \left(x + \dfrac{x^2}{2}\right) = -x^2 + o(x^2)$
代入分式得：
$\lim _{x\rightarrow 0} \dfrac{-x^2}{x^2} = -1$

方法二（洛必达法则）：

1. 第一次洛必达：分子分母求导：

   • 分子导数：$\dfrac{1}{1+x} - e^x$
   • 分母导数：$e^x \ln(1+x) + (e^x -1)\cdot \dfrac{1}{1+x}$
     代入$x=0$，仍为$\frac{0}{0}$型。

2. 第二次洛必达：再次求导：

   • 分子二阶导数：$-\dfrac{1}{(1+x)^2} - e^x$
   • 分母二阶导数：$2$（详细推导略）
     代入$x=0$，得：
     $\dfrac{-1 -1}{2} = -1$