题目

某竞赛成绩X sim N(65,100)，若按照参赛人数的10%发奖，则获奖分数线应定为78分().

某竞赛成绩$X \sim N(65,100)$，若按照参赛人数的$10\%$发奖，则获奖分数线应定为78分().

题目解答

答案

设竞赛成绩 $X \sim N(65, 100)$，即 $\mu = 65$，$\sigma = 10$。 按10%发奖，即 $P(X \geq x) = 0.10$。 转换为标准正态分布： \[ P\left(Z \geq \frac{x - 65}{10}\right) = 0.10 \quad \Rightarrow \quad P(Z \leq z) = 0.90 \] 查表得 $z \approx 1.2816$，解得： \[ x \approx 65 + 10 \times 1.2816 = 77.816 \approx 78 \] 因此，获奖分数线应定为78分，陈述正确。 答案：$\boxed{\sqrt{}}$

解析

本题考查正态分布的性质以及标准正态分布的应用。解题的关键思路是先明确已知的正态分布参数，再根据发奖比例确定概率表达式，然后将其转化为标准正态分布的形式，通过查标准正态分布表得到对应的$z$值，最后反解出获奖分数线$x$。

  1. 已知竞赛成绩$X \sim N(65,100)$，根据正态分布$X \sim N(\mu,\sigma^{2})$的参数含义，可得均值$\mu = 65$，标准差$\sigma=\sqrt{100} = 10$。
  2. 因为按照参赛人数的$10\%$发奖，所以获奖的概率为$P(X \geq x)=0.10$，这里$x$为获奖分数线。
  3. 为了利用标准正态分布表，我们将$X$进行标准化处理，令$Z=\frac{X - \mu}{\sigma}=\frac{X - 65}{10}$，则$Z\sim N(0,1)$。那么$P(X \geq x)$可转化为$P\left(Z \geq \frac{x - 65}{10}\right)=0.10$。
  4. 根据标准正态分布的性质$P(Z \geq z)=1 - P(Z \leq z)$，由$P\left(Z \geq \frac{x - 65}{10}\right)=0.10$可得$1 - P\left(Z \leq \frac{x - 65}{10}\right)=0.10$，即$P\left(Z \leq \frac{x - 65}{10}\right)=0.90$。
  5. 查标准正态分布表，找到使得$P(Z \leq z)=0.90$的$z$值，可得$z\approx1.2816$，也就是$\frac{x - 65}{10}\approx1.2816$。
  6. 求解$x$，对$\frac{x - 65}{10}\approx1.2816$进行变形可得$x\approx65 + 10\times1.2816$，计算$10\times1.2816 = 12.816$，则$x\approx65+12.816 = 77.816\approx78$。