甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三人击中的概率分别为 0.4,0.5, 0.7。 飞机被一人击中而被击落的概率为 0.2,被两人击中而被击落的概率为 0.6,若三人都击 中,飞机必定被击落。求飞机被击落的概率。

考查要点：本题主要考查条件概率和全概率公式的应用，需要结合独立事件的概率计算。

解题核心思路：

1. 分类讨论飞机被击中的人数（1人、2人、3人），分别计算对应概率；
2. 根据题目给出的击落概率，结合各击中人数的概率，利用全概率公式求和。

破题关键点：

• 独立事件：甲、乙、丙的射击结果相互独立，概率相乘；
• 互斥事件：击中人数为1、2、3的情况互不重叠，可直接相加；
• 全概率公式：将击落概率拆分为不同击中人数下的条件概率加权求和。

步骤1：计算被1人击中的概率

飞机被1人击中的情况有3种：

1. 甲击中，乙、丙未击中：
   $P = 0.4 \times (1-0.5) \times (1-0.7) = 0.4 \times 0.5 \times 0.3 = 0.06$
2. 乙击中，甲、丙未击中：
   $P = (1-0.4) \times 0.5 \times (1-0.7) = 0.6 \times 0.5 \times 0.3 = 0.09$
3. 丙击中，甲、乙未击中：
   $P = (1-0.4) \times (1-0.5) \times 0.7 = 0.6 \times 0.5 \times 0.7 = 0.21$
   总概率：
   $P(H_1) = 0.06 + 0.09 + 0.21 = 0.36$

步骤2：计算被2人击中的概率

飞机被2人击中的情况有3种：

1. 甲、乙击中，丙未击中：
   $P = 0.4 \times 0.5 \times (1-0.7) = 0.4 \times 0.5 \times 0.3 = 0.06$
2. 甲、丙击中，乙未击中：
   $P = 0.4 \times (1-0.5) \times 0.7 = 0.4 \times 0.5 \times 0.7 = 0.14$
3. 乙、丙击中，甲未击中：
   $P = (1-0.4) \times 0.5 \times 0.7 = 0.6 \times 0.5 \times 0.7 = 0.21$
   总概率：
   $P(H_2) = 0.06 + 0.14 + 0.21 = 0.41$

步骤3：计算被3人击中的概率

三人全部击中的概率：
$P(H_3) = 0.4 \times 0.5 \times 0.7 = 0.14$

步骤4：应用全概率公式

飞机被击落的总概率为：
$\begin{aligned}P(A) &= P(H_1) \cdot P(A|H_1) + P(H_2) \cdot P(A|H_2) + P(H_3) \cdot P(A|H_3) \\&= 0.36 \times 0.2 + 0.41 \times 0.6 + 0.14 \times 1 \\&= 0.072 + 0.246 + 0.14 \\&= 0.458\end{aligned}$