题目
设是矩阵，A经过有限次初等变化为B,则下列说法错误的是（ ） B也是矩阵 r(A)=r(B) A与B等价 齐次线性方程组Ax=0和Bx=0同解。
设
是
矩阵，A经过有限次初等变化为B,则下列说法错误的是（ ）
B也是矩阵
r(A)=r(B)
A与B等价
齐次线性方程组Ax=0和Bx=0同解。
题目解答
答案
选项A：因为A、B为同型矩阵，所以B也是矩阵，故A正确；
选项B：由定理可得初等变换不改变矩阵的秩，所以r(A)＝r(B），故B正确；
选项C：由等价定义可得A经过有限次初等变换后，A与B等价，故C正确。
选项D：令
,
则
即A可化为B，但AX=0与BX=0不同解 故D错误
即本答案选择D
解析
步骤 1：矩阵的初等变换
矩阵的初等变换包括行变换和列变换，这些变换不改变矩阵的秩，也不改变矩阵的行空间和列空间。因此，如果矩阵A经过有限次初等变换变为矩阵B，那么矩阵B的行数和列数与矩阵A相同，即B也是u×u矩阵。
步骤 2：矩阵的秩
矩阵的秩是矩阵中非零行的最大数目，或者说是矩阵中线性无关的行或列的最大数目。初等变换不改变矩阵的秩，因此如果矩阵A经过有限次初等变换变为矩阵B，那么矩阵A和矩阵B的秩相等，即r(A)=r(B)。
步骤 3：矩阵的等价
矩阵A和矩阵B等价，如果存在一系列初等变换，使得矩阵A可以变为矩阵B。因此，如果矩阵A经过有限次初等变换变为矩阵B，那么矩阵A和矩阵B等价。
步骤 4：齐次线性方程组的解
齐次线性方程组Ax=0和Bx=0的解集是相同的，如果矩阵A和矩阵B等价。然而，如果矩阵A和矩阵B不等价，那么齐次线性方程组Ax=0和Bx=0的解集可能不同。例如，如果矩阵A和矩阵B的秩不同，那么齐次线性方程组Ax=0和Bx=0的解集可能不同。
矩阵的初等变换包括行变换和列变换，这些变换不改变矩阵的秩，也不改变矩阵的行空间和列空间。因此，如果矩阵A经过有限次初等变换变为矩阵B，那么矩阵B的行数和列数与矩阵A相同，即B也是u×u矩阵。
步骤 2：矩阵的秩
矩阵的秩是矩阵中非零行的最大数目，或者说是矩阵中线性无关的行或列的最大数目。初等变换不改变矩阵的秩，因此如果矩阵A经过有限次初等变换变为矩阵B，那么矩阵A和矩阵B的秩相等，即r(A)=r(B)。
步骤 3：矩阵的等价
矩阵A和矩阵B等价，如果存在一系列初等变换，使得矩阵A可以变为矩阵B。因此，如果矩阵A经过有限次初等变换变为矩阵B，那么矩阵A和矩阵B等价。
步骤 4：齐次线性方程组的解
齐次线性方程组Ax=0和Bx=0的解集是相同的，如果矩阵A和矩阵B等价。然而，如果矩阵A和矩阵B不等价，那么齐次线性方程组Ax=0和Bx=0的解集可能不同。例如，如果矩阵A和矩阵B的秩不同，那么齐次线性方程组Ax=0和Bx=0的解集可能不同。