题8 给定函数f(x),设对一切x,f`(x)存在且 lt mleqslant f'(x)leqslant M, 试-|||-证明对于 lt lambda lt dfrac (2)(M) 的任意值λ,迭代过程 _(k+1)=(x)_(k)-lambda f((x)_(k)) 均收敛于 f(x)=0-|||-的根x×

本题考查压缩映像原理在迭代过程收敛性证明中的应用。解题的关键思路是先确定迭代函数，然后验证其封闭性和压缩性。封闭性是指迭代函数将定义域映射到自身，压缩性是指迭代函数的导数绝对值小于 1。

详细解析

1. 确定迭代函数：
   已知迭代过程为$x_{k + 1}=x_{k}-\lambda f(x_{k})$，令$\varPhi(x)=x-\lambda f(x)$，此即为迭代函数。
2. 验证封闭性：
   对于一切$x$及任意$\lambda$，$\varPhi(x)$总是实数，这意味着对于任意的输入$x$，经过$\varPhi(x)$的映射后，输出仍然在实数范围内，所以封闭性条件自然满足。
3. 验证压缩性：
   • 首先求$\varPhi(x)$的导数，根据求导公式$(u - v)^\prime=u^\prime - v^\prime$，对$\varPhi(x)=x-\lambda f(x)$求导可得$\varPhi^\prime(x)=1-\lambda f^\prime(x)$。
   • 已知$0\lt m\leqslant f^\prime(x)\leqslant M$，根据绝对值不等式的性质，$\vert\varPhi^\prime(x)\vert=\vert1 - \lambda f^\prime(x)\vert$。
   • 因为$f^\prime(x)$的取值范围是$[m,M]$，所以$\vert\varPhi^\prime(x)\vert$的最大值为$L = \max\{\vert1-\lambda M\vert,\vert1 - \lambda m\vert\}$。
   • 接下来分析当$0\lt\lambda\lt\frac{2}{M}$时$L$的取值范围：
     • 对于$1-\lambda M$，因为$\lambda\lt\frac{2}{M}$，所以$\lambda M\lt2$，又因为$\lambda\gt0$，$M\gt0$，所以$1-\lambda M\gt1 - 2=-1$；同时$\lambda\gt0$，$M\gt0$，所以$1-\lambda M\lt1$。
     • 对于$1-\lambda m$，因为$m\leqslant M$，$\lambda\gt0$，所以$\lambda m\leqslant\lambda M$，那么$1-\lambda m\geqslant1-\lambda M$，且$1-\lambda m\lt1$。
     • 综上，当$0\lt\lambda\lt\frac{2}{M}$时，$-1\lt1-\lambda M\lt1-\lambda m\lt1$，所以$L=\max\{\vert1-\lambda M\vert,\vert1 - \lambda m\vert\}\lt1$，压缩性条件成立。
   • 根据压缩映像原理，当迭代函数满足封闭性和压缩性时，迭代过程$x_{k + 1}=\varPhi(x_{k})$收敛于$\varPhi(x)=x$的根，即$x-\lambda f(x)=x$，化简可得$f(x)=0$的根$x^*$。